Enunciado

Uma placa de bronze quente está tendo a superfície superior refrigerada por jato de ar a uma temperatura de 15 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é de 220   W / m 2 ⋅ K . A placa de bronze de 10   c m de espessura, ρ = 8.530   k g / m 3 ,   c p = 380   J / k g ⋅ K ,   k = 110   W / m ⋅ K   e   α = 33,9 × 10 - 6   m 2 / s tem temperatura uniforme inicial de 650 ℃ , e sua superfície inferior é isolada. Determine a temperatura no centro da placa de bronze após 3 minutos de resfriamento.

Passo 1

Podemos perceber que este é um caso de condução em grandes paredes planas, a dimensão da placa na direção  x  é muito grande. Além disso, um lado da parede é adiabático.

Para determinar a temperatura no centro da placa de bronze após 3 minutos de resfriamento, podemos começar calculando o comprimento da característica.

L c = L

L c = 0,1   m

Com o comprimento característico, podemos calcular o número do Biot usando a seguinte relação:

B i = h L c k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor por convecção e k  é a condutividade térmica da placa de bronze. Substituindo 220   W / m 2 ⋅ K por  h 0,1   m por  L c 110   W / m ⋅ K   por  k .

B i = 220   W / m 2 ⋅ K × 0,1   m 110   W / m ⋅ K

B i = 0,2

Como o número de Biot não é menor que 0,1 , a análise de calor em para sistema aglomerado não pode ser aplicada.

Passo 2

Agora, vamos calcular o número de Fourier usando a seguinte relação:

τ = α t L 2

Aqui,  τ é o número de Fourier,  α é a difusividade térmica do material,  t  é o tempo e  L  é o comprimento crítico da placa. Podemos substituir pelos dados fornecidos, 33,9 × 10 - 6   m 2 / s por  α 180   s por  t  e  0,1   m por  L .

τ = 33,9 × 10 - 6   m 2 / s × 180   s 0,1   m 2

τ = 0,6102

Passo 3

Agora, vamos usar a equação de distribuição de temperatura para a parede plana usando a aproximação de um termo para calcular a temperatura. A equação é escrita da seguinte maneira:

θ o , p a r e d e = T x , t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ cos ⁡ λ 1 x L

Aqui  T ∞ é a temperatura do fluido,  T i é a temperatura inicial e  x  é o local. Podemos obter os valores das constantes λ 1 e A 1 usando o número de Biot B i = 0,2   na tabela 4-2, (Coeficientes utilizados ​​na solução aproximada do termo de condução de calor transiente unidimensional em paredes planas) no livro didático. Assim temos que:

λ 1 = 0,4328   r a d

A 1 = 1,0311

Podemos então substituir os dados fornecido e encontrados, 15 ℃  por T ∞ , 650 ℃ por T i , 1,0311 por A 1 , 0,4328   r a d por λ 1 , 0,05   m por x e 0,1   c m por L , na equação acima. Assim tempos:

T x , t - 15 ℃ 650 ℃ - 15 ℃ = 1,0311 × e - 0,4328 2 × 0,6102 cos ⁡ 0,4328   r a d × 0,05   m 0,1   c m

T x , t = 15 ℃ + 635 ℃ × 1,0311 × e - 0,1143 cos ⁡ 0,2164   r a d

T x , t = 15 ℃ + 635 ℃ × 0,89828

T x , t = 585,407 ℃

Portanto, a temperatura no plano central da placa de bronze após 3 minutos de resfriamento é  585,407 ℃ .

Resposta

T x , t = 585,407 ℃

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