Enunciado

PP9.2 – Considere o escoamento supersônico de ar, nas condições ao nível do mar, em torno de uma cunha de semiângulo θ, com mostra a Fig. PP9.2. Admita que a pressão na face posterior da cunha se iguala à pressão do fluido quando ele sai do leque de Prandtl-Meyer.

A) Considere M a ∞ = 3,0 . Para qual ângulo o coeficiente de arrasto de onda supersônico CA, baseado na área frontal, será exatamente 0,5?

B) Suponha que θ = 20°. Existe um número de Mach da corrente livre para o qual o coeficiente de arrasto de onda CA, baseado na área frontal, será exatamente 0,5?

Passo 1

A)

Para respondermos essa questão vamos pegar uma equação da função de expansão supersônica de Prandtl-Meyer, cuja expressão é:

θ = K 0,5 tan - 1 ⁡ M a 2 - 1 K 0,5 - tan - 1 ⁡ M a 2 - 1 0,5         E q 1

Onde, o parâmetro K é definido em função da razão de calores específicos, cuja expressão é:

K = k + 1 k - 1

A razão de calores específicos é dada por:

k = c p c v

Onde, cp é o calor especifico a pressão constante e cv é o calor especifico a volume constante.

Para o ar, em condições de atmosférica no nível do mar, o valor de k usual é:

k = 1,4

Passo 2

Vamos agora pegar a Eq. 9.105 do White para calcularmos o ângulo para o qual o coeficiente de arrasto é 0,5

A expressão descrita pela eq. 9.105 é:

C A = 4 α 2 M a ∞ 2 - 1 0,5             E q 2

Considerando

θ = α

Assim,

C A = 4 θ 2 M a ∞ 2 - 1 0,5

Isolando o ângulo θ:

4 θ 2 = C A M a ∞ 2 - 1 0,5

θ 2 = C A 4 M a ∞ 2 - 1 0,5

θ = C A 4 M a ∞ 2 - 1 0,5 0,5

Simplificando a equação acima, vamos ter que:

θ = 1 2 C A M a ∞ 2 - 1 0,5 0,5

θ = 1 2 C A 0,5 M a ∞ 2 - 1 0 , 2 5

Aplicando os valores:

θ = 1 2 0,5 0,5 3 2 - 1 0,25

θ = 0,21

Passo 3

O valor obtido para o ângulo se encontra em radianos, vamos então converter para graus.

Lembrando que para conversão de ângulo de radianos para graus, podemos usar o seguinte fator de conversão:

180 ° = π   r a d

Fazendo a conversão:

θ = 0,21   r a d 180 ° π   r a d

Vamos obter que o ângulo em graus é:

θ = 12 °

Passo 4

B)

Para encontrarmos o nº de Mach, Ma, da corrente livre para o qual o coeficiente de arrasto de onda CA, é 0,5, vamos novamente usar a Eq.2

C A = 4 θ 2 M a ∞ 2 - 1 0,5

Vamos tentar isolar o termo do nº de Mach:

C A M a ∞ 2 - 1 0,5 = 4 θ 2

M a ∞ 2 - 1 0,5 = 4 θ 2 C A

M a ∞ 2 - 1 = 4 θ 2 C A 2

M a ∞ 2 = 1 + 16 θ 4 C A 2

M a ∞ = 1 + 16 θ 4 C A 2 0,5       E q 3

Passo 5

O ângulo θ deve estar em radianos, então precisamos fazer uma conversão de graus para radianos, de forma análoga ao que foi feito antes no item A:

Pelo fator de conversão:

180 ° = π   r a d

Assim,

θ = 20 °   π   r a d 180 °

θ = 0,35   r a d

Voltando a Eq3 e aplicando os valores:

M a ∞ = 1 + 16 ( 0,35 ) 4 0,5 2 0,5

M a ∞ = 1,4

Resposta

A)

θ = 12 °

B)

M a ∞ = 1 , 4

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