Enunciado

Ar, a uma pressão de 1   a t m e temperatura de 50 ℃ , encontra-se em escoamento paralelo sobre a superfície superior de uma placa plana que é aquecida até uma temperatura uniforme de 100 ℃ . A placa tem um comprimento de 0,20   m (na direção do escoamento) e uma largura de 0,10   m . O número de Reynolds baseado no comprimento da placa é de 40.000 . Qual é a taxa de transferência de calor da placa para o ar? Se a velocidade na corrente livre do ar for dobrada e a pressão for aumentada para 10   a t m , qual será a taxa de transferência de calor?

Passo 1

Fala galera!!

Nos foi fornecidos os seguintes dados:

Pressão caso 1: p 1 = 1   a t m

Pressão caso 2: p 2 = 1 0   a t m

Velocidade da corrente livre caso 1: u 1

Velocidade da corrente livre caso 2: u 2 = 2 u 1

Temperatura do ar atmosférico: T ∞ = 5 0 ℃ = 323   K

Temperatura da superfície da placa plana: T s = 1 00 ℃ = 3 73   K

Comprimento da placa plana: L = 0,20   m

Largura da placa plana: w = 0,10   m

Número de Reynolds: R e 1 = 40.000

Passo 2

Agora, vamos calcular a temperatura média do filme no ar.

T f = T s + T ∞ 2

Aqui  T s é a temperatura da superfície e  T ∞ é a temperatura ambiente do ar. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

T f = 373   K + 323   K 2 = 348   K

Com a temperatura de filme, vamos obter a densidade, condutividade térmica, viscosidade cinemática, número de Prandtl, na tabela A.4, “Propriedades termofísicas de gases à pressão atmosférica”, à temperatura média do filme de 348   K . Por meio de interpolação, entre as temperaturas de 300   K e 350   K , temos que:

Densidade do ar: ρ = 1,002   k g / m 3

Condutividade térmica: k = 0,0299   W / m ⋅ K

Viscosidade cinemática: ν = 20,72 × 10 - 6   m 2 / s

Número de Prandtl: P r = 0,700

Passo 3

Temos que o número de Reynolds fornecido no enunciado é menor que o valor número de Reynolds crítico para esta placa plana, portanto, o fluxo é laminar. Assim, podemos calcular o número de Nusselt para o fluxo laminar sobre a placa plana pela equação 7.30. Assim temos:

N u - L = 0 , 667   R e L 1 / 2 P r 1 / 3  

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

N u - L = 0,667   40 000 1 / 2 0,7 1 / 3  

N u - L = 118,446

Com o número de Nusselt, vamos calcular agora, o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u - L = h - L L k =

h - L = N u - L k L

Substituindo os termos da relação acima pelos dados obtidos, temos:

h - L = 118,446 0,0299   W / m ⋅ K 0,20   m

h - L = 17,71   W / m 2 ⋅ K

Passo 4

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a taxa de transferência de calor na placa usando a seguinte relação:

q 1 = h - L A s T s - T ∞

Aqui A s é a área da superfície por onde ocorre o escoamento L × w . Substituindo os termos da relação acima pelos dados fornecidos, temos:

q 1 = 17,71   W / m 2 ⋅ K 0,20   m × 0,10   m 373   K - 323   K

q 1 = 17,70   W

Portanto, a taxa de transferência de calor é  17,70   W .

Passo 5

Agora, vamos usar a equação do gás ideal para encontrar uma relação entre a densidade a 10   a t m . Assim, temos que:

p V = m R T

p = m V R T

p = ρ R T

Aqui  p é a pressão,  V é o volume,  m é a massa,  R é a constante de gás,  T é a temperatura e  ρ é a densidade. Assim, quanto à temperatura e o volume são constante, temos que a pressão é proporcional a densidade. Logo podemos dizer que:

p 1 p 2 = ρ 1 ρ 2

Substituindo os dados sobre pressão, temos o seguinte:

1 10 = ρ 1 ρ 2

ρ 2 = 10 ρ 1

Passo 6

Agora, vamos encontrar a expressão para o número de Reynolds no caso 1 onde a pressão é 1   a t m . Assim temos:

R e 1 = ρ 1 u 1 L μ

Aqui  u 1 é a velocidade inicial e  μ é a viscosidade dinâmica.

Vamos agora calcular o número de Reynolds para o caso 2 onde a pressão é 1 0   a t m . Assim temos:

R e 2 = ρ 2 u 2 L μ

Substituindo a relação de velocidade fornecida no enunciado e relação de densidade encontrada no passo anterior, temos:

R e 2 = 10 ρ 1 2 u 1 L μ

R e 2 = 20 ρ 1 u 1 L μ

Podemos perceber que o número de Reynolds no segundo caso tem relação com o número de Reynolds no primeiro caso. Assim temos que:

R e 2 = 20 R e 1

Substituindo R e 1 , temos que:

R e 2 = 20 40000

R e 2 = 8 × 1 0 5

Como o número de Reynolds é maior que o número de Reynolds crítico  5 × 10 5 , temos que o fluxo é turbulento.

Passo 7

Devido o fluxo ser turbulento, podemos calcular o número de Nusselt sobre a placa plana pela equação 7.38. Assim temos:

N u - L = 0,037   R e L 4 / 5 - A P r 1 / 3  

Aqui,  P r é o número de Prandtl, R e L é o número de Reynolds e A  é uma constante. Para o número de Reynolds crítico considerado 5 × 10 5 , temos que A = 871 . Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

N u - L = 0,037   8 × 10 5 4 / 5 - 871 × 0,7 1 / 3

N u - L = 960,6

Com o número de Nusselt, vamos calcular agora, o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

N u - L = h - L L k =

h - L = N u - L k L

Substituindo os termos da relação acima pelos dados obtidos, temos:

h - L = 960,6 0,0299   W / m ⋅ K 0,20   m

h - L = 143,61   W / m 2 ⋅ K

Passo 8

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a taxa de transferência de calor na placa usando a seguinte relação:

q 2 = h - L A s T s - T ∞

Aqui A s é a área da superfície por onde ocorre o escoamento L × w . Substituindo os termos da relação acima pelos dados fornecidos, temos:

q 2 = 143,61   W / m 2 ⋅ K 0,20   m × 0,10   m 373   K - 323   K

q 2 = 143,61   W

Portanto, a taxa de transferência de calor é  143,61   W .

Resposta

q 1 = 17,70   W

q 2 = 143,61   W

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