Enunciado

Seja uma placa plana sujeita a um escoamento paralelo (superior e inferior) caracterizado por μ ∞ = 5   m / s , T ∞ = 20 ℃ .

(a) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção médio, a taxa de transferência de calor por convecção e a força de arrasto associadas a uma placa plana com um comprimento L = 2   m e largura w = 2   m , para o escoamento de ar e temperaturas superficiais de T s = 50 ℃ e 80 ℃ .

(b) Determine o coeficiente de transferência de calor por convecção médio, a taxa de transferência de calor por convecção e a força de arrasto associadas a uma placa plana com um comprimento L = 0,1   m e largura w = 0,1   m , para o escoamento de água e temperaturas superficiais de T s = 50 ℃ e 80 ℃ .

Passo 1

Fala galera!!

(a) Nos foi fornecidos os seguintes dados:

Temperatura do ar atmosférico: T ∞ = 20 ℃ = 293   K

Temperatura da superfície da placa plana: T s = 50 ℃ = 323   K

Temperatura da superfície da placa plana: T s = 80 ℃ = 353   K

Velocidade do escoamento do ar: u ∞ = 5   m / s

Comprimento da placa plana: L = 2   m

Largura da placa plana: w = 2   m

PRESSUPOSTOS:

(1) condições de estado estacionário;

(2) suposições da camada de limite são válidas;

(3) propriedades constantes;

(4) o número de Reynolds crítico é 5 × 10 5 .

Passo 2

Para o caso onde a temperatura da superfície é 50 ℃ .

Agora, vamos calcular a temperatura média do filme no ar.

T f = T s + T ∞ 2

Aqui  T s é a temperatura da superfície e  T ∞ é a temperatura ambiente do ar. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

T f = 323   K + 293   K 2 = 308   K

Com a temperatura de filme, vamos obter a densidade, condutividade térmica, viscosidade cinemática, número de Prandtl, na tabela A.4, “Propriedades termofísicas de gases à pressão atmosférica”, à temperatura média do filme de 308   K . Por meio de interpolação, entre as temperaturas de 300   K e 350   K , temos que:

Densidade do ar: ρ = 1,1348   k g / m 3

Condutividade térmica: k = 0,02689   W / m ⋅ K

Viscosidade cinemática: ν = 16,695 × 10 - 6   m 2 / s

Número de Prandtl: P r = 0,7059

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Reynolds usando a seguinte relação:

R e = u ∞ L ν

Aqui  u ∞ é a velocidade,  L o comprimento da placa plana e  ν é a viscosidade cinemática. Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos o seguinte:

R e = 5   m / s 2   m 16,695 × 10 - 6   m 2 / s = 5,99 × 10 5

O número de Reynolds encontrado é maior que o número de Reynolds crítico  5 × 10 5 , portanto, o fluxo é turbulento no final da placa e as condições na camada limite são mistas.

Passo 4

O coeficiente médio de arrasto pode ser calculado a partir da Equação 7.40, ou seja:

C - f , L = 0,074   R e L - 1 / 5 - 2 A R e L

Para o número de Reynolds crítico considerado 5 × 10 5 , temos que A = 871 . Assim, temos o seguinte:

C - f , L = 0,074   R e L - 1 / 5 - 1742 R e L

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

C - f , L = 0,074   5,99 × 10 5 - 1 / 5 - 1742 5,99 × 10 5

C - f , L = 0,00227

Com o coeficiente médio de arrasto podemos calcular a força de arrasto usando a seguinte relação:

F D = C - f , L 1 2 ρ u ∞ 2 A s

Aqui,  u ∞ é a velocidade do escoamento do ar, A s é a área da seção transversal. Como o escoamento ocorre na parte inferior e superior A s = 2 L × w . Substituindo os temos da relação acima pelos dados obtidos, temos:

F D = 0,00227 × 1 2 1,1348   k g / m 3 5   m / s 2 × 2 2   m × 2   m

F D = 0,257   N

Portanto, o arrasto é  0,257   N .

Passo 5

Agora, vamos calcular o número médio de Nusselt. Podemos usar a equação 7.38 devido o fluxo ser turbulento. Assim temos:

N u - L = 0,037   R e L 4 / 5 - A P r 1 / 3  

Aqui,  P r é o número de Prandtl, R e L é o número de Reynolds e A  é uma constante. Para o número de Reynolds crítico considerado 5 × 10 5 , temos que A = 871 . Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

N u - L = 0,037   5,99 × 10 5 4 / 5 - 871 × 0,7059 1 / 3

N u - L = 604

Com o número de Nusselt, vamos calcular agora, o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

h - L = N u - L k L

Substituindo os termos da relação acima pelos dados obtidos, temos:

h - L = 604 0,02689   W / m ⋅ K 2   m = 8,13   W / m 2 ⋅ K

Portanto, o coeficiente de transferência de calor por convecção é  8,13   W / m 2 ⋅ K .

Passo 6

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a taxa de transferência de calor por unidade de largura da placa usando a seguinte relação:

q = h - L A s T s - T ∞

Aqui A s é a área da superfície por onde ocorre o escoamento. Temos que a que ocorre escoamento em ambos os lados e a área de um dos lados é dado por A s = 2 L × w , Assim, podemos dizer que:

q = 2 h - L L × w T s - T ∞

Substituindo os termos da relação acima pelos dados fornecidos, temos:

q = 2 8,13   W / m 2 ⋅ K 2   m × 2   m 323   K - 293   K

q = 1950   W

Portanto, perda de calor por convecção da placa, quando a temperatura da superfície  50 ℃ é  1950   W .

Passo 7

Para o caso onde a temperatura da superfície é 80 ℃ .

Agora, vamos calcular a temperatura média do filme no ar.

T f = T s + T ∞ 2

Aqui  T s é a temperatura da superfície e  T ∞ é a temperatura ambiente do ar. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

T f = 353   K + 293   K 2 = 323   K

Com a temperatura de filme, vamos obter a densidade, condutividade térmica, viscosidade cinemática, número de Prandtl, na tabela A.4, “Propriedades termofísicas de gases à pressão atmosférica”, à temperatura média do filme de 323   K . Por meio de interpolação, entre as temperaturas de 300   K e 350   K , temos que:

Densidade do ar: ρ = 1,0848   k g / m 3

Condutividade térmica: k = 0,028   W / m ⋅ K

Viscosidade cinemática: ν = 18,204 × 10 - 6   m 2 / s

Número de Prandtl: P r = 0,7038

Passo 8

Agora, vamos calcular o número de Reynolds usando a seguinte relação:

R e = u ∞ L ν

Aqui  u ∞ é a velocidade,  L o comprimento da placa plana e  ν é a viscosidade cinemática. Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos o seguinte:

R e = 5   m / s 2   m 18,204 × 10 - 6   m 2 / s = 5,49 × 10 5

O número de Reynolds encontrado é maior que o número de Reynolds crítico  5 × 10 5 , portanto, o fluxo é turbulento no final da placa e as condições na camada limite são mistas.

Passo 9

O coeficiente médio de arrasto pode ser calculado a partir da Equação 7.40, ou seja:

C - f , L = 0,074   R e L - 1 / 5 - 2 A R e L

Para o número de Reynolds crítico considerado 5 × 10 5 , temos que A = 871 . Assim, temos o seguinte:

C - f , L = 0,074   R e L - 1 / 5 - 1742 R e L

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

C - f , L = 0,074   5,49 × 10 5 - 1 / 5 - 1742 5,49 × 10 5

C - f , L = 0,00209

Com o coeficiente médio de arrasto podemos calcular a força de arrasto usando a seguinte relação:

F D = C - f , L 1 2 ρ u ∞ 2 A s

Aqui,  u ∞ é a velocidade do escoamento do ar, A s é a área da seção transversal. Como o escoamento ocorre na parte inferior e superior A s = 2 L × w . Substituindo os temos da relação acima pelos dados obtidos, temos:

F D = 0,00209 × 1 2 1,0848   k g / m 3 5   m / s 2 × 2 2   m × 2   m

F D = 0,227   N

Portanto, o arrasto é  0,227   N .

Passo 10

Agora, vamos calcular o número médio de Nusselt. Podemos usar a equação 7.38 devido o fluxo ser turbulento. Assim temos:

N u - L = 0,037   R e L 4 / 5 - A P r 1 / 3  

Aqui,  P r é o número de Prandtl, R e L é o número de Reynolds e A  é uma constante. Para o número de Reynolds crítico considerado 5 × 10 5 , temos que A = 871 . Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

N u - L = 0,037   5,49 × 10 5 4 / 5 - 871 × 0,7038 1 / 3

N u - L = 510,55

Com o número de Nusselt, vamos calcular agora, o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

h - L = N u - L k L

Substituindo os termos da relação acima pelos dados obtidos, temos:

h - L = 510,55 0,028   W / m ⋅ K 2   m = 7,16   W / m 2 ⋅ K

Portanto, o coeficiente de transferência de calor por convecção é  7,16   W / m 2 ⋅ K .

Passo 11

Com o coeficiente de transferência de calor, podemos calcular a taxa de transferência de calor por unidade de largura da placa usando a seguinte relação:

q = h - L A s T s - T ∞

Aqui A s é a área da superfície por onde ocorre o escoamento. Temos que a que ocorre escoamento em ambos os lados e a área de um dos lados é dado por A s = 2 L × w , Assim, podemos dizer que:

q = 2 h - L L × w T s - T ∞

Substituindo os termos da relação acima pelos dados fornecidos, temos:

q = 2 7,16   W / m 2 ⋅ K 2   m × 2   m 353   K - 293   K

q = 3440   W

Portanto, perda de calor por convecção da placa, quando a temperatura da superfície  80 ℃ é  3440   W .

Resposta

Para o caso onde a temperatura da superfície é 50 ℃ .

F D = 0,257   N

h - L = 8,13   W / m 2 ⋅ K

q = 1950   W

Para o caso onde a temperatura da superfície é 80 ℃ .

F D = 0,227   N

h - L = 7,16   W / m 2 ⋅ K

q = 3440   W

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