Enunciado

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Em princípio, é possível usar cilindros rotativos como asas de avião. Considere um cilindro de 30 cm de diâmetro, girando a 2400 rpm. Ele deve sustentar um avião de 55 kN voando a 100 m/s. Qual deveria ser o comprimento do cilindro? Que potência é necessária para manter essa velocidade? Despreza os efeitos de extremidade sobre a asa rotativa.

Passo 1

E aí, gente!! Tudo bem? Então vou mostrar pra vocês que mecânica dos fluidos não é nem de longe um bicho de 7 cabeças (nem de perto também)!!!

Vamos assumir nível do mar para pegar as propriedades do ar?

ρ = 1,23   k g / m ³

O enunciado fala pra gente qual é o valor da velocidade angular, ou seja, ela é V = r ω

V = 0,15 2400 2 π 60 = 37,7   m / s

Passo 2

Mas se liga, o cara aí tá pedindo comprimento do cilindro né? Bem, esse bichano aí vai aparecer tanto na equação de arrasto quanto na de sustentação, mas no enunciado já foi dito quanto de sustentação se aguenta.... hummmmmmmmmmmmmmmmm, então malandramente vamos usar a equação de sustentação!!

F s u s t e n t a ç ã o = C L ρ 2   U ∞ 2 D L

Mas de onde vamos tirar esse capiroto do C L ? Bem, tem uma figura no livro que é a 8.11 que ela dá pra gente o valor de C L e C D em função de um parâmetro que é a velocidade do sólido pela velocidade da corrente livre, que no nosso caso está sendo a própria velocidade do avião!! OPA, ENTÃO TÁ AÍ!

V U ∞ = 37,7 100 = 0,377 ≈ 0,38

E aí você vai ver na figura que para essa razão, para um corpo cilíndrico rotacionando, temos um C L = 1,8   e C D = 1,1 , aproximadamente.

F s u s t e n t a ç ã o = 55000 = 1,8 1,23 2 100 2 0,3 L

L = 17   m

Passo 3

Bem, para calcular a potência temos a fórmula P o t = F U ∞ , onde F é a força que está atuando “desfavorecendo” o movimento, que nesse caso é o arrasto!!!!

P o t = C D ρ 2 U ∞ 2 D L U ∞

P o t = 1,1 1,23 2 100 2 0,3 17 100 = 3450150 = 3,4   M W

OBS: Note que essa potência é ABSURDAMENTE ALTA, ou seja, algo totalmente inviável!!!

Resposta

L = 17   m

P o t = 3,4   M W

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