Enunciado

No Problema 1.71, considere os terminais que conectam o transistor à placa do circuito. Estes terminais possuem condutividade térmica k, espessura t, largura w e comprimento L. Uma extremidade do terminal é mantida à temperatura T t , que corresponde à temperatura no revestimento do transistor, enquanto a outra extremidade encontra-se à temperatura T p da placa de circuito. Ao longo da operação em regime estacionário, a passagem de corrente elétrica através dos terminais gera um aquecimento volumétrico uniforme à taxa q ˙ , enquanto há resfriamento por convecção para o ar que está a T ∞ e que mantém um coeficiente convectivo h.

  1. Deduza uma equação a partir da qual a distribuição de temperaturas no terminal possa ser determinada. Liste todas as hipóteses pertinentes.
  2. Determine a distribuição de temperaturas em um terminal, expressando os seus resultados em termos das variáveis especificadas.

Passo 1

Vamos que vamos galerinhaa??

Antes de qualquer coisa nós precisamos dar uma olhadinha mais de perto para o balanço de energia em um volume de controle diferencial, ok?

Então, se pegarmos um pedacinho do terminal de comprimento d x :

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos que o calor sendo adicionado ao volume, q ' x e E g , e saindo do volume de controle, q ' x + d x e q ' c o n v , Então:

q ' x + E g = q ' x + d x + q ' c o n v

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q ' x = - k A . d T d x

E para uma distância x + d x :

q ' x = q ' x + d q ' x d x . d x

A transferência de calor por convecção pode ser dada como:

q ' c o n v = h P T - T ∞ d x

E a última que precisamos achar é a transferência de calor pela geração:

E g = q ˙ A . d x

Agora nós podemos substituir tudo que temos:

q ' x + q ˙ A . d x = q ' x + d q ' x d x . d x + h P T - T ∞ d x

q ˙ A . d x = d q ' x d x . d x + h P T - T ∞ d x

Como o dx está presente em todos os termos:

q ' ' r a d = d q ' x d x + h T - T ∞

E substituindo q ' x :

q ˙ A = d d x - k A . d T d x + h P T - T ∞

q ˙ A = - k A . d 2 T d x 2 + h P T - T ∞

Reescrevendo:

. d 2 T d x 2 - h P T - T ∞ + q ˙ A = 0

d 2 T d x 2 - h P k A T - T ∞ + q ˙ k = 0

Se nós reorganizarmos:

d 2 T d x 2 - h P k A T - T ∞ - q ˙ A h P = 0

Então a equação diferencial que governa a distribuição de temperatura será dada por d 2 T d x 2 - h P k A T - T ∞ - q ˙ A h P = 0 .

Bora seguir pra letra (b)??

Passo 2

Na letra (b) nós queremos uma solução para a equação diferencial usando condições de contorno apropriadas.

Se nós assumirmos que:

θ = T - T ∞ - q ˙ A h P

Então:

d 2 T d x 2 = d 2 θ d x 2

Na fórmula da letra (a):

d 2 θ d x 2 - h P k A θ = 0

Chamando:

m 2 = h P k A

d 2 θ d x 2 - m 2 θ = 0

Quando nós temos uma equação diferencial homogênea solução é dada pela forma:

θ = C 1 e m x + C 2 e - m x

Aplicando a primeira condição de contorno, quando x = 0 e θ 0 = θ b , então:

θ b = C 1 + C 2

C 2 = θ b - C 1

Se nós aplicarmos a segunda condição de contorno, quando x = L e θ L = θ t :

θ t = C 1 e m L + C 2 e - m L

Substituindo na primeira equação do contorno o que acabamos de achar:

θ t = C 1 e m L + θ b - C 1 e - m L

Isolando C 1 :

C 1 = θ t - θ b e - m L e m L - e - m L

Substituindo em C 2 :

C 2 = θ b - θ t - θ b e - m L e m L - e - m L = θ b e m L - θ b e - m L + θ b e - m L - θ t e m L - e - m L = θ b e m L - θ t e m L - e - m L

Colocando na solução:

θ = θ t - θ b e - m L e m L - e - m L e m x + θ b e m L - θ t e m L - e - m L e - m x

Reorganizando:

θ = θ t e m x - θ b e - m L e m x + θ b e m L e - m x - θ t e - m x e m L - e - m L

θ = θ t ( e m x - e m x ) + θ b ( e m L e - m x - e - m L e m x ) e m L - e - m L

Eu sei que vocês já estão tiram isso de cor e salteado, não é?!

Resposta

  1. d 2 T d x 2 - h P k A T - T ∞ - q ˙ A h P = 0 ;
  2. θ = θ t ( e m x - e m x ) + θ b ( e m L e - m x - e - m L e m x ) e m L - e - m L .
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