Enunciado

Um bastão com diâmetro D = 25 mm e condutividade térmica k   =   60 W m K se estende perpendicularmente da parede externa de um forno, que está a T p   =   200 ° C , e está coberto parcialmente por um isolante com espessura L i s o   =   200   m m . O bastão está soldado à parede do forno e é utilizado para sustentação de cabos de instrumentação. A fim de evitar danos aos cabos, a temperatura na superfície exposta do bastão, T e , deve ser mantida abaixo de um limite operacional especificado de T m á x = 100 ° C . A temperatura do ar ambiente é T ∞ = 25 ° C e o coeficiente de transferência de calor por convecção é igual a h = 15 W m 2 K .

  1. Desenvolva uma expressão para a temperatura da superfície exposta T e em função dos parâmetros térmicos e geométricos especificados. O bastão possui um comprimento exposto L e e a sua extremidade é isolada.
  2. Irá um bastão com L e = 200   m m atender ao limite de operação especificado? Se não, quais parâmetros de projeto você mudaria? Considere o uso de outro material, o aumento da espessura do isolante e o aumento do comprimento do bastão. Analise também como você poderia fazer a fixação da base do bastão à parede do forno a fim de reduzir T e .

Passo 1

Vamos para mais umaa ??

Então vamos fazer um desenho das resistências do que está acontecendo aqui, ok?

Se o calor é dado pela variação da temperatura sobre a resistência total:

q = T e - T ∞ R a l e t a = T p - T ∞ R i s o l + R a l e t a

Reorganizando:

T e - T ∞ R a l e t a = T p - T ∞ R i s o l + R a l e t a

T e = T ∞ + R a l e t a R i s o l + R a l e t a T p - T ∞

Aaaaaa já achamos !!

A letra (a) foi tranquilex !!

Passo 2

Na letra (b) nós queremos saber se um bastão com L e = 200   m m atende ao limite de operação especificado, T e < T m a x .

Vamos ver nossos dados?

L e = 200   m m = 0,2   m

L i s o   =   200   m m = 0,2   m

D = 25   m m = 0,025   m

k   =   60 W m K

h = 15 W m 2 K

T p   =   200 ° C

T ∞ = 25 ° C

Se lembram como calculamos a resistência?

R i s o l = L i s o l k A

E da aleta basta olharmos a Tabela 3.4, ok?

R a l e t a = 1 tanh ⁡ ( m L e ) h P k A

Como:

A = π D 2 4 = π 0,025   m 2 4 = 4,9 × 10 - 4   m 2

P = π D = π 0,025   m = 0,079   m

m = h P k A = 4 h k D = 4 15 W m 2 K 60 W m K 0,025   m = 6,32   m - 1

h P k A = 15 W m 2 K 0,079   m 60 W m K 4,9 × 10 - 4   m 2 = 0,187 W K

Calculando as resistências:

R i s o l = 0,2   m 60 W m K 4,9 × 10 - 4   m 2 = 6,790 K W

R a l e t a = 1 0,187 W K tanh ⁡ ( 6,32   m - 1 × 0,2   m ) = 6,298   K W

Agora é só substituir na fórmula do Passo 1:

T e = 25 ° C   + 6,298   K W 6,298   K W + 6,790 K W 200 ° C - 25 ° C

T e = 109 ° C

Sendo assim, não atenderá às especificações, certo? Já que T e > T m a x .

Então nós devemos diminuir o valor da razão R a l e t a R i s o l + R a l e t a , certo?

Mas como? Se olharmos atentamente para as fórmulas dadas nós podemos perceber que existem cinco opções distintas, bora ver?

  1. Aumentar significativamente o comprimento L e , já que aumentando L e de maneira significante vamos aumentar a tanh e diminuir a resistência da aleta;
  2. Se diminuirmos a condutividade térmica do material vamos diminuir as duas resistências. Se igualarmos T e = 10 0 ° C vamos obter k   =   14 W m K , ou seja, podemos usar uma aleta de aço inoxidável.
  3. Se aumentarmos a espessura do isolamento nós teremos uma resistência de isolamento maior, aumentando o denominador da nossa razão nós a diminuímos, certo?
  4. Também poderíamos introduzir uma resistência de contato entre a aleta e a parede, que nos daria o mesmo princípio da solução (3).
  5. Também podemos aumentar o coeficiente de convecção, pois isso diminuiria a resistência da aleta.

Resposta

  1. T e = T ∞ + R a l e t a R i s o l + R a l e t a T p - T ∞
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