Enunciado

Para o Problema 8.146, que diâmetro seria necessário para o tubo de comprimento 2L gerar a mesma vazão que a do tubo de comprimento L?.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Analogamente ao problema 8.146, temos as considerações:

α = 1 ;

V 1 = 0   ( r e s e r v a t ó r i o   e l e v a d o )     e     V 2   = V ;

P 1 = P 2 = P a t m

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, e a eq perda de carga menor:

h p = f L V ² 2 g D + K e n t V 2 2 g

Passo 2

Do problema, temos:

D = 0,05 m   |   H = 10   m   ρ = 999   k g m 3   μ = 1,01 * 10 - 3 N s m     L = 10   m      

e = 0,15 m m   ( T a b e l a   8.1 )       K e n t = 0,5   ( T a b e l a   8.2 )  

Obs: propriedades da água à 15 0 C , Tabela A.8 .

Façamos a análise do primeiro tubo: Assim, a equação da energia, de forma simplificada, fica:

V = 2 g H f L D + K e n t + 1       ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = ρ V D μ     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de V:
  2. V = 1   m / s

    Então, pela iteração:

    R e = 5 * 10 4         e     f = 0,0286  

  3. Utilizando o mesmo valor do fator de atrito encontrado, resolve-se a equação 1 e encontramos o valor de V = 5,21   m / s .
  4. Repetindo a iteração:

    R e = 2,61 * 10 5         e     f = 0,0267

  5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo fator de atrito encontrado, resolve-se a equação 1 e encontramos o valor de V = 5,36   m / s .

Repetindo a iteração:

R e = 2,68 * 10 5         e     f = 0,0267

E novamente encontra-se o valor de V = 5,36   m / s .

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Portanto, a vazão pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,05 2 * 5,36 4                   →                           Q = 0,0105   m 3 / s                

Passo 4

Agora, façamos a análise do segundo tubo. Ao invés de usarmos o comprimento L, utilizaremos 2L:

V = 2 g H f 2 L D + K e n t + 1

Agora, o problema pede um novo valor para o diâmetro D, com o comprimento 2L, para que obtenha a mesma vazão de   Q = 0,0105   m 3 / s .

Deve-se, então, realizar uma nova iteração, variando o valor do diâmetro D.

Para início, dizemos que D = 0,06 m :

Daí,

V = 4 Q π D 2 = 4 * 0,0105 π 0,06 2     = 3,72 m s

Então, o Re:

R e = 999 * 3,72 * 0,06 1,01 * 10 - 3 = 2,23 * 10 5

E, com o auxílio da ferramenta Solve, do excel, encontramos o valor de f = 0,0256 .

Agora, resolvendo a equação (1), para a icógnita H (uma vez que já temos a velocidade), têm-se:

H ' = V 2 2 g f 2 L D + K e n t + 1       → H ' = 7,07   m

Mas o H = 10 m . Portanto, o diâmetro é muito grande: apenas uma cabeça de H ' = 7,07   m seria necessária para gerar o fluxo. Tornemos D menor.

Passo 5

Portanto, deve-se repetir o passo 4 até encotrarmos um valor para D que seja suficiente para H=10m.

Após algumas iterações, utilizamos o D = 0,056 02 m :

Daí,

V = 4 Q π D 2 = 4 * 0,0105 π 0,0 5 6 2     = 4,27 m s

Então, o Re:

R e = 999 * 3,72 * 0,06 1,01 * 10 - 3 = 2 , 39 * 10 5

E, com o auxílio da ferramenta Solve, do excel, encontramos o valor de f = 0,026 .

Agora, resolvendo a equação (1), para a icógnita H, têm-se:

H ' = V 2 2 g f 2 L D + K e n t + 1       → H ' = 10     m

Resposta

Portanto, por tentativa e erro, o diâmetro necessário para o tubo de comprimento 2L gerar a mesma vazão que a do tubo de comprimento L é de D = 56,02 m m

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