Enunciado

Você está regando o gramado com uma mangueira velha. Por causa dos depósitos que se formaram ao longo dos anos, a mangueira de 19 mm (diâmetro interno) tem agora uma altura média de rugosidade de 0,56 mm. Uma mangueira de 15 m de comprimento, conectada ao borrifador, fornece 57 L 60 s de água (15°C). Calcule a pressão no borrifador, em kPa. Estime a vazão, se um comprimento de mangueira de 15 m de comprimento for adicionada. Considere que a pressão no borrifador varie com a vazão e que a pressão no distribuidor principal de água permaneça constante em 345 kPa.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Então, lá vai uma tentativa de esboço para o problema em questão !

Bem, para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos, de acordo com o blanço de energia entre a torneira(2) e mangueira de descarregamento(3):

α = 1 ;

V 1 = 0  

P 3 = P a t m = 0

z 2 = z 3

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, a eq perda de carga menor será desprezada, então:

h p = f L V ² 2 g D

Passo 2

Do problema, temos:

  D = 19   m m       ν = 1 , 14 * 10 - 6 N s m     L = 15   m     e = 0 , 56 m m   |    

Obs: propriedades da água à 15 0 C , Tabela A.7.

Portanto, a equação de energia simplificada se torna:

P 2 = ρ f L V 2 2 g D ( 1 )

A velocidade V pode ser encontrada:

V = 4 Q π D 2 =     4 * 9,5 * 10 - 4 m ³ π * 0,019 2   m ² s         →     V = 3,351 m s

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = V D ν =   3,351 * 0,019 1,14 * 10 - 6           → R e =   5,6 * 10 4

Agora, a partir do Re, podemos encontrar o coeficiente de atrito f.

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f ( 2 )    

A equação pode ser resolvida computacionalmente, então, utilizando a ferramenta Solve, do excel, podemos encontrar o valor do fator de atrito f = 0,0 5 7 .

Substituindo os valores na equação da energia:

P 2 = ρ f L V 2 2 g D = 999 * 0,057 * 15 * 3,351 2 2 * 9,81 * 0,019         → P 2 = 257 , 3   k P a

Passo 3

Agora, aplicando a equação da energia entre 1 e 2:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos:

α = 1 ;

V 1 = 0  

z 2 = z 1

As perdas de carga serão representadas pela eq perda de carga menor, então:

h p = K V 2 2 2 g

Com as considerações feitas:

Δ P = ρ V 2 2 2 + K V 2 2 2

Isolando o K:

K = 2 Δ P ρ V 2 - 1 = 2 * 345 - 257,3 * 10 3 999 * 3,351 2 = 15,64

Passo 4

Para a adição de uma nova mangueira de 15m de comprimento, façamos um novo balanço de energia, entre 1 e 4(nova mangueira), com as seguintes considerações:

α = 1 ;

V 1 = 0  

z 4 = z 1

P 4 = P a t m

As perdas de carga neste caso agora serão representadas pela eq perda de carga maior e menor, então:

h p = f L V 4 ² 2 g D + K V 4 2 2 g

P 1 ρ = V 4 2 2 f L D + K + 1

Então:

V 4 = 2 P 1 ρ f L D + K + 1

Substituindo os valores:

V 4 = 2 * 345 * 10 3 999 0,057 * 30 0,019 + 15,64 + 1     →     V 4 = 2,54   m s

Assim, a vazão com as duas mangueiras:

Q = π D 2 V 4 4 = π * 0,019 2 * 2,54 4           → Q = 7,2 * 10 - 4 m 3 s

Resposta

Portanto, a pressão calculada no borrifador é de P 2 = 257,3   k P a e a vazão com as duas mangueiras é de Q = 7,2 * 10 - 4 m 3 s

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