Enunciado

Determine o menor duto retangular, liso e com razão de aspecto igual a 3, que deixará passar 1 m 3 s de ar a 10°C com uma perda de carga de 25 mm de água por 100 m de duto.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga (ou equação da energia):

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos:

α = 1 ;

V 1 = V 2 ;

z 1 = z 2

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, a eq perda de carga menor será desprezada:

h p = f L V ² 2 D g

Passo 2

Do problema, temos:

r a = 3       Q = 1 m 3 s   ρ h 20 = 999 k g m 3           ρ = 1,25 k g m 3         ν = 1 , 4 1 * 10 - 5 m 2 s   |      

Δ h = 25   m m     L = 100   m     e = 0   |

Obs: propriedades da água à 1 0 0 C , Tabela A.10 .

Façamos a análise do primeiro tubo: Assim, a equação da energia, de forma simplificada, fica:

Δ P ρ = f L V ² 2 D h     ( 1 )

Vale lembrar que:

Δ P = ρ h 20 g Δ h = 999 * 0,025 * 9,81 = 245   k P a

E que, para tubos retangulares:

D h = 4 b h 2 ( b + h ) = 2 h 2 r a h 1 + r a = 2 h r a 1 + r a

Porém, da eq 1, não sabemos o valor da velocidade, mas sabemos a vazão:

V = Q A   e   A = h 2 r a         →     V = Q h 2 r a

Substituindo as expressões na equação 1:

Δ P = ρ f L Q 2 h 4 r a 2   1 + r a 2 h r a    

Isolando o h, temos:

h = ρ f L Q 2 4 Δ P 1 + r a r a 3 1 5 ( 1 ' )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = V D ν     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

A equação 1 é complicada porque h é desconhecido, então Dh é desconhecido, portanto V é desconhecido (mesmo que Q seja conhecido), e Re e, portanto, f são desconhecidos! Podemos configurar o Excel para resolver a Eq 1’, o número de Reynolds e f, simultaneamente, variando h, ou podemos fazê-lo pelo método de tentativa e erro:

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
  2. f = 0,01

    Ao substituir os valores encontrados em cada equação, temos:

    h = 0,18   m     V = 10,3 m s     D h = 0,27   m   |   R e = 1,97 * 10 5  

    A partir daí, utilizando a ferramenta Solve, do excel, substituímos os valores na equação 3 e temos f = 0,0 157 .

  3. Após algumas tentativas, temos o valor de f = 0,016 :

h = 0,1 9 8   m     V = 8 , 5 3 m s     D h = 0,2 9 7   m   |   R e = 1,7 9 * 10 5  

A partir daí, utilizando a ferramenta Solve, do excel, substituímos os valores na equação 3 e temos f = 0,01 6 .

P.s: Como b = 2 h     → b = 0,396 m

Resposta

Portanto, as dimensões mínimas são 198 mm por 395 mm.

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