Enunciado

Um procedimento para determinar a condutividade térmica de um material sólido envolve embutir um termopar em uma espessa chapa do material e medir a resposta a uma determinada mudança na temperatura em uma superfície. Considere um arranjo no qual o termopar está posicionado 10 mm abaixo da superfície, que tem sua temperatura subitamente elevada e mantida a 100 °C pela sua exposição à água em ebulição. Se a temperatura inicial da chapa era de 30 °C e o termopar mede uma temperatura de 65 °C, 2 min após a superfície ter sido colocada a 100 °C, qual é a condutividade térmica do material? A massa específica e o calor específico do material são 2200 kg/m³ e 700 J/(kg · K), respectivamente.

Passo 1

Beleza! Nesse exercício, vamos modelar o problema como sendo um sólido semi-infinito com temperatura na superfície constante, então a temperatura em um ponto, para um determinado intervalo de tempo, pode ser encontrada a partir da equação 5.60, que é dada por:

T x , t - T s T i - T s = erf ⁡ x 2 α t

Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima, chegamos em:

65 - 100 30 - 100 = erf ⁡ 0,01 2 α 2 60

erf ⁡ ( 4,564.10 - 4 α - 1 2 ) = 0,5

Passo 2

Então, agora precisamos recorrer à tabela B.2 do apêndice B para encontrar o valor da função erro de Gauss, com isso, a nossa equação se torna:

4,564.10 - 4 α - 1 2 = 0,477 → α = 9,155.10 - 7   m 2 / s

E, nós sabemos que a fórmula para α é dada por:

α = k ρ c

Então, isolando a condutividade térmica da equação acima, temos:

k = α ρ c

E, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

k = 9,155.10 - 7 2200 700 → k = 1,41   W / m . K

Resposta

k = 1,41   W / m . K

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