Enunciado

Projete um trocador de calor para pasteurizar o leite por vapor de água em uma fábrica de leite. O leite escoa por um banco de tubos de 1,2 cm de diâmetro interno, enquanto o vapor condensa fora dos tubos a 1 atm. O leite deve entrar nos tubos a 4°C e deve ser aquecido a 72°C a uma taxa de 15 L/s. A partir de hipóteses razoáveis, você deve especificar o comprimento do tubo, o número de tubos e a bomba do trocador de calor.

Passo 1

Boom galera, projetar um trocador de calor não é uma tarefa fácil! Mas nós vamos tentar, ok?

O problema nos disse algumas coisas:

T e n t r a d a = 4 ° C

T s a í d a = 72 ° C

m T o t a l = 15 L s ˙

d i n t e r n o = 1,2   c m = 0,012   m

Como as propriedades do fluido são avaliadas na temperatura média do fluido:

T b = T e n t r a d a + T s a í d a 2 = 4 ° C + 72 ° C 2 = 38 ° C

Usando esta temperatura e assumindo que as propriedades do leite são iguais às da água:

c p = 4178,5 J k g . K

P r = 4,572

ρ = 993,7   k g m 3

k = 0,627 W m . K

v = 7,638 × 10 - 7 m 2 s

μ = 0,759 × 10 - 3 k g m . s

Se:

1 k g s = 1,0 753 L s

m T o t a l ˙ = 15 L s × 1 k g s 1,0753 L s = 13,95 k g s

Nós vamos assumir aqui que existam 30 tubos:

m 1   t u b o ˙ = 13,95 k g s 30   t u b o s   = 0,465 k g s

E que a temperatura da superfície é constante:

Q ˙ = m 1   t u b o ˙ c p T s a í d a - T e n t r a d a

Então:

Q ˙ = 0,465 k g s 4178,5 J k g . K 72 ° C - 4 ° C = 132124,17   W

Q ˙ = 132,124   k W

Passo 2

Agora nós poderemos calcular a velocidade média com o fluido está escoando:

m 1   t u b o ˙ = ρ V A c

Lembrando que:

A c = π D 2 4

Então:

V = 4 m 1   t u b o ˙ ρ π D 2

Substituindo nossos dados:

V = 4 0,465 k g s π 993,7   k g m 3 0,012   m 2 = 4,138 m s

Com a velocidade média nós podemos achar o número de Reynolds:

R e = V D v

R e = 4,138 m s 0,012   m 7,638 × 10 - 7 m 2 s = 65011,78

Como o Reynolds é maior que 10.000 o fluxo é turbulento!!

Neste caso:

N u = 0,023 R e 0,8 P r n

Como o fluindo está sendo aquecido:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,4

Substituindo:

N u = 0,023 65011,78 0,8 4,572 0,4

N u = 299,34

Passo 3

Como já temos o numero de Nusselt nós vamos podemos achar o coeficiente de transferência de calor por convecção através da fórmula:

N u = h D k

Reorganizando:

h = N u k D

Então:

h = 299,34 0,627 W m . K 0,012   m = 15640,515 W m 2 K

Usando a equação:

Q ˙ = h A s ∆ T l m

Para achar a área de um tubo:

A s = Q ˙ h ∆ T l m

A única informação que não temos é a diferença de temperatura média logarítima:

∆ T l m = T e n t r a d a - T s a í d a ln ⁡ T s - T s a í d a T s - T e n t r a d a

Como os tubos estão sendo aquecidos pelo vapor de água quente:

T s = 100 ° C

Então:

∆ T l m = 4 ° C - 72 ° C ln ⁡ 100 ° C - 72 ° C 100 ° C - 4 ° C = 55,188   ° C

Agora sim podemos achar a área:

A s = 132124,17   W 15640,515 W m 2 K 55,188   ° C = 0,153   m 2

E o que queremos com tudo isso?

Calcular o comprimento do tubo, certo?

Vamos lembrar que:

A s = π D L

Isolando o comprimento:

L = A s π D

E substituindo:

L = 0,153   m 2 π ( 0,012   m ) = 4,058   m

Então cada tubo terá o comprimento de 4,058 m!!

Passo 4

Mas ainda não acabou, né?!

Para calcular a potência da bomba vamos usar a equação:

W = V ˙ ∆ P

Vamos começar achando a vazão:

V ˙ = V A c n

Lembrando que:

A c = π D 2 4

n = 30   t u b o s

Então:

V ˙ = 30 × π V D 2 4

Colocando nossos dados:

V ˙ = 30 × π 4,138 m s ( 0,012   m ) 2 4 = 0,014 m 3 s

Agora nós precisamos calcular a variação da pressão:

∆ P = f L ρ V 2 2 D

A única coisa que não temos é o fator de fricção:

f = 0,184   R e - 0,2

f = 0,184 × 65011,78 - 0,2 = 0,02

Agooora siiim !!

É só substituir:

∆ P = 0,02 4,058   m 993,7   k g m 3 4,138 m s 2 2 0,012   m = 57539,63 k g m . s 2

Achando a potência:

W = 57539,63 k g m . s 2 0,014 m 3 s = 805,554   W

Transformando em hp:

W = 805,554   W × 1   h p 745,7   W = 1,08   h p

Então a nossa bomba deverá ter uma potência mínima de 1,08   h p .

Trabalhosa, né?!

Resposta

L = 4,058   m         30   t u b o s         W = 1,08   h p  

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