Responde Aí

Enunciado

No projeto de edifícios, a necessidade de conservação de energia exige que a área da superfície externa, As, seja minimizada. Essa exigência implica que, para uma dada área de piso desejada, devem existir valores ótimos associados ao número de andares e às dimensões horizontais do prédio. Considere um projeto no qual a área total de piso, Api, e a distância vertical entre andares, Ha, são especificadas.

(a) Se o prédio possui uma área de seção transversal quadrada com W de lado, obtenha uma expressão para o valor de W que iria minimizar a perda de calor para a vizinhança. Suponha que a perda de calor possa ocorrer nas quatro paredes laterais verticais e no teto plano. Expresse o seu resultado em termos de Api e Ha.

(b) Se Api = 32.768 m2 e Ha = 4 m, para quais valores de W e Na (número de andares) a perda de calor é minimizada? Se o valor médio do coeficiente global de transferência de calor é igual a U = 1 W/(m2 ·K) e a diferença entre as temperaturas no interior do prédio e no ar ambiente é de 25°C, qual é a perda de calor correspondente? Qual a porcentagem de redução na perda de calor em comparação com um prédio com Na = 2?

Passo 1

Para resolver a letra (a), devemos encontrar uma expressão para a área superficial A S e minimizá-la, pois assim estaremos minimizando a transferência de calor para o ambiente externo.

Vamos considerar o esquema ilustrativo do prédio:

Podemos observar que cada andar possui uma altura H a e um piso de base quadrada de lado W . Nossa área superficial, então, será uma soma da área dos quatro lados do prédio mais a área do topo:

A S = 4 H W + W ²

Sendo H a altura total do prédio.

Essa altura H pode ser expressa como um produto do número de andares N a e a altura de cada andar H a , e nossa expressão para a área superficial se torna:

A S = 4 N a H a W + W ²

Mas o item (a) pede que a gente expresse nosso resultado em termos de H a e A p i , sendo este último uma espécie de soma das áreas do piso de base quadrada de cada andar.

Ou seja, podemos expressar A p i como um produto do número de andares pela área do pisode cada andar de passe quadrada W , da seguinte forma:

A p i = N a W ²  

Dessa forma, podemos expressar o número de andares em função de A p i :

N a =   A p i W ²  

Podemos, então, finalmente expressar a nossa área superficial em função da área total de piso A p i :

A S = 4 A p i W ²   H a W + W 2 → A S = 4 H a A p i 1 W   + W 2

Mas o item não termina aí! Lembre que ele pede que a gente encontre o valor de W que minimiza a área.

Você, como um bom estudante de Engenharia, já sabe o que isso significa, né? Quando queremos minimizar ou maximizar algo, basta que a gente derive e iguale a derivada a zero. Vamo então derivar A S com relação a W :

d A S d W = 4 H a A p i - 1 W 2 + 2 W

Igualando a derivada a zero:

0 = 4 H a A p i - 1 W 2 + 2 W  

→ 4 H a A p i W 2 = 2 W

→ W 3 = 2 H a A p i

→   W =   2 H a A p i 1 / 3

Passo 2

Vamos resolver a primeira parte do item (b) agora.

Para A p i = 32768 m² e H a   = 4 m, vamos calcular o valor de W mínimo:

W =   2   4   m 32768   m ²   1 / 3 = 64   m

Vamos então calcular a área superficial A S :

A S = 4 H a A p i 1 W   + W 2 = 4 ( 4   m ) ( 32768   m ² )   64   m + 64   m 2 = 12288   m ²

E, por fim, vamos calcular a taxa de calor trocado entre o prédio e o ambiente a partir da equação:

q = U A S ∆ T = 1   W m 2 .   K 12288   m ² 25   ° C = 307200   W  

Passo 3

Vamos resolver o restante do item (b) agora.

Devemos calcular a taxa de calor para a situação proposta de um número de andares igual a 2 ( N a   = 2).

Primeiro, devemos calcular o valor de W :

W =   A p i N a =   32768   m ² 2 = 128   m

Sendo assim, podemos calcular a área A S :

A S = 4 N a H a W + W 2 = 4 2 4   m 128   m + 128   m 2 = 20480   m ²

Calculamos agora a taxa de calor:

q = U A S ∆ T = 1   W m 2 .   K 20480   m ² 25   ° C = 512000   W  

Agora, vamos calculara redução percentual da perda de calor encontrada no Passo 2 para aquela encontrada neste Passo:

R e d u ç ã o = 512000   W - 307200   W 512000   W x 100 = 40 %

Resposta

  1. W =   2 H a A p i 1 / 3
  2. Redução de 40% na perda de calor.
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