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Um motor recebe potência elétrica P e l e de uma linha de força e transmite potência mecânica P m e c para uma bomba através de um eixo rotativo de cobre com condutividade térmica k e , comprimento L e diâmetro D. O motor está montado sobre uma base quadrada com lado de comprimento W, espessura t e condutividade térmica k b . A superfície da carcaça do motor,

exposta ao ar ambiente a T ∞ , possui uma área A c e o coeficiente convectivo correspondente é h c . As extremidades opostas do eixo estão a temperaturas de T c e T ∞ , e a transferência de calor do eixo para o ar ambiente é caracterizada por um coeficiente convectivo h e . A superfície inferior da base do motor está a T ∞ .

  1. Expressando o seu resultado em termos de P e l e , P m e c , k e , L, D, W, t, k b ,   A c , h c e h e , obtenha uma expressão para ( T c T ∞ ).
  2. Qual o valor de T c se P e l e = 25   k W , P m e c = 15   k W ;   k e = 400 W m K ,   L = 0,5   m ,   D = 0,05   m ,   W = 0,7   m ,     t = 0,05   m ,     k b = 0,5 W m K ,   A c = 2   m ² ,   h c = 10 W m 2 K ;   h e = 300   W m 2 K   e   T ∞ = 25 ° C ?

Passo 1

Animados para seguir?

Então boora lá !!

Sabemos que a potência elétrica está gerando potência mecânica e liberando calor. Este calor será transmitido para o ar por convecção, q c o n v , para a base do motor por condução, q c o n d , e por fim para a aleta, q a l e t a .

Quando nós fazemos o balanço de energia teremos:

P e l e = P m e c + q c o n v + q c o n d + q a l e t a

Agora nós precisamos achar cada um dos termos, ok?

A primeira coisa que devemos fazer aqui é escrever a equação de Fourier para a condução que ocorre a uma distância x:

q c o n d = - k b A b . d T d x

Para a base:

q c o n d = - k b W 2 T c - T ∞ t

A transferência de calor por convecção pode ser dada como:

q c o n v = h c A c T c - T ∞

E a última que precisamos achar é a transferência de calor para aleta, que neste caso será:

q a l e t a = M . cosh ⁡ ( m L ) - θ L θ b s in h ⁡ ( m L )

Quando o comprimento é L a temperatura é T ∞ , então:

θ L = T ∞ - T ∞ = 0

Por isso:

q a l e t a = M . cosh ⁡ ( m L ) sinh ⁡ ( m L ) = M tan h ⁡ ( m L )

Os valores de M e m nós já conhecemos, certo?

M = h e k e D 3 π 2 4 1 2 T c - T ∞

m = 4 h e k e D

Colocando tudo isso no balanço:

P e l e - P m e c = h c A c T c - T ∞ - k b W 2 T c - T ∞ t + h e k e D 3 π 2 4 1 2 . T c - T ∞ tanh ⁡ L 4 h e k e D  

Isolando T c - T ∞ :

T c - T ∞ = P e l e - P m e c h c A c - k b W 2 t + h e k e D 3 π 2 4 1 2 . 1 tanh ⁡ L 4 h e k e D

E é isso galerinha, achamos nossa letra (a)!!

Mas ainda precisamos da letra (b), certo?

Passo 2

Na letra (b) nós queremos o valor de T c !

E o que sabemos?

P e l e = 25   k W

P m e c = 15   k W

k e = 400 W m K

L = 0,5   m

D = 0,05   m

W = 0,7   m

  t = 0,05   m

k b = 0,5 W m K

A c = 2   m 2

h c = 10 W m 2 K

h e = 300   W m 2 K  

  T ∞ = 25 ° C + 273 = 298   K

Então bora substituir tudo na fórmula do Passo 1, ok?

T c - 298   K = 25 000   W - 15000   W 10 W m 2 K 2   m 2 - 0,5 W m K 0,7   m 2 0,05   m + 300   W m 2 K 400 W m K 0,05   m 3 π 2 4 1 2 . 1 tanh ⁡ 3,873

T c - 298   K = 322,1   K

T c = 620,1   K

Em graus Celsius:

T c = 347,1 ° C

E terminamos mais umaa !!

Resposta

  1. T c - T ∞ = P e l e - P m e c h c A c - k b W 2 t + h e k e D 3 π 2 4 1 2 . 1 tanh ⁡ L 4 h e k e D ;
  2. T c = 347,1 ° C .

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