Enunciado

A queda de pressão ∆ P = P 1 - P 2 através de uma secção longa de um tubo redondo pode ser escrita em termos da tensão de cisalhamento τ w ao longo da parede. A tensao de cisalhamento que age na parede do fluido é mostrada na Figura P 7 - 83 . A região sombreada é um volume de controle composto pelo fluido do tubo entre as posições axiais 1 e 2 . Existem dois parâmetros adimensionais relacionados a queda de pressão: o número de Euler Eu e o fator de atrito de Darcy f .

(a) Usando o volume de controle representado na Figura P 7 - 83 , gere uma relacão para f em termos de Eu (e de quaisquer outras propriedades ou parâmetros do problema que sejam necessários).

(b) Usando os dados e as condições experimentais do Problems 7 - 70 (Tabela P 7 - 70 ), trace o fator de atrito de Darcy como função de Re. O f mostra independência do número de Reynolds para valores grandes de Re? Neste caso, qual é o valor de f para um Re muito alto?

Passo 1

Bom gente, para resolvermos essa questão, devemos avaliar as nossas condições. Em questões de pressão e tensão de cisalhamento em tubos, quando o perfil é completamente desenvolvido isso nos garante que em qualquer ponto a velocidade é a mesma.

Essas forças viscosas e de pressão se contrabalançam, daí o momento se conserva:

∑ F x = ∑ F p r e s s ã o + ∑ F t e n s ã o

Cada uma dessas expressões é escrita da seguinte forma:

P = F A       ∴       F = P × A       ∴         ∑ F p r e s s ã o = ∆ P × π D 2 4    

τ = F A       ∴       F = τ × A       ∴         ∑ F t e n s ã o = - τ w π D L    

A tensão com sinal negativo pois é uma força que aponta para a esquerda. Assim, igualando as tuas expressões, temos:

∆ P × π D 2 4 = - τ w π D L

∆ P = 4 τ w L D

Agora, relacionando com o número de Euler ( E u = ∆ P ρ V 2 ), como ∆ P = ρ V 2 E u , temos:

ρ V 2 E u = 4 τ w L D               ∴               E u = 4 τ L ρ V 2 D

E, por fim, atribuindo o fator de atrito de Darcy f = 8 τ w ρ V 2 , podemos reescrever a equação acima da seguinte forma:

E u = L 2 D 8 τ w ρ V 2

E u = L 2 D f         o u   f = 2 D L E u

Passo 2

Para o item (b), vamos usar a seguinte tabela do problema 7 - 70 :

Com L = 1,3   m , D = 10,4   c m = , ρ = 998 k g m 3 e μ = 1,002 × 10 - 3 k g m ∙ s . Usamos os dados no Excel para facilitar a nossa vida e facilitar os cálculos. Assim, temos:

E plotamos o seguinte gráfico:

A partir desse gráfico, podemos perceber que o valor de f mostra independência para valores de Reynolds maiores de 2 × 10 6 , ou seja, o fator de atrito tende a se estabilizar. Da mesma forma, acontece com o numero de Euler.

E, por fim, pelo gráfico, o valor extrapolado de f em função de R e é de cerca de 0,04867 . Comprovando:

  f = 2 D L E u           ∴         f = 2 × 0,104 1,3 × 0,3042 = 0,04867

Prontinho!!

Resposta

(a) E u = L 2 D f         o u   f = 2 D L E u

(b) Sim, 0,04867 .

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