Enunciado

Considere escoamento de sangue em uma artéria. O sangue é um fluido não newtoniano; a tensão de cisalhamento versus a taxa de cisalhamento é descrita pela relação de Casson:

em que τc é a tensão de cisalhamento crítica e μ é uma constante que tem a mesma unidade da viscosidade dinâmica. A relação de Casson mostra uma relação linear entre e , com coeficiente linear e coeficiente angular (inclinação) . A relação de Casson se aproxima do comportamento newtoniano para altos valores da taxa de deformação. Deduza o perfil de velocidades para escoamento do sangue em regime permanente e completamente desenvolvido em uma artéria de raio R. Deduza uma expressão para a vazão do sangue. Calcule a vazão devido a um gradiente de pressão dp/dx = −100 Pa/m em uma artéria de raio R = 1 mm, usando os seguintes dados para o sangue: μ = 3,5 cP e τc = 0,05 dina/cm2

Passo 1

Segundo o tópico 8.4, a tensão de cisalhamento em tubos com escoamento completamente desenvolvido é:

τ r x = r 2 ∂ p ∂ x

Considerando então que a tensão de cisalhamento é em função de r podemos fazer uma analogia com as tensões dadas no enunciado, sendo:

Para r ≥ R c a tensão é:

τ = τ c + μ d u d r

Para r < R c a tensão é:

τ = 0

Substituindo a tensão na situação r ≥ R c temos:

r 2 d p d x = τ c + μ d u d r

Sabendo que quando r = R c , d u / d r = 0 podemos simplificar:

R c 2 d p d x = τ c

R c = 2 τ c d p d x

Inserindo τ c   em:

r 2 d p d x = τ c + μ d u d r

r 2 d p d x = R c 2 d p d x + μ d u d r

r 2 d p d x - R c 2 d p d x = μ d u d r

μ d u d r = 1 2 d p d x r - 2 r R c + R c

Fazendo a integração com d u   e   d r e usando u = 0 para r = R :

u = - 1 4 μ d p d x R 2 - r 2 - 8 3 R c   R c 3 2 - r 3 2 + 2 R c R - r

Esse resultado é para R c ≤ r ≤ R

Para r ≤ R c fazendo a integração com d u   e   d r e usando r = R c temos:

u = - 1 4 μ d p d x R 2 - R c 2 + 2 R c   R - R c

Passo 2

Para calcular a vazão do sangue podemos utilizar a equação da vazão e substituir os valores de u:

Q = ∫ 0 R u r 2 π r d r

Q = ∫ 0 R c u r 2 π r d r + ∫ R c R u r 2 π r d r

Logo, a expressão para a vazão do sangue é:

Q = - π R 4 8 μ d p d x 1 - 16 7 R c R + 4 3 R c R - 1 21 R c R 4

Podemos substituir os dados nas equações:

Q = - π R 4 8 μ d p d x 1 - 16 7 R c R + 4 3 R c R - 1 21 R c R 4

Passo 3

Usando os dados do enunciado, podemos substituir os valores nas equações:

R c = 2 τ c d p d x

R c = 2.0,05 X 10 - 1 100 = 0,0001 m

Q = - π R 4 8 μ d p d x 1 - 16 7 R c R + 4 3 R c R - 1 21 R c R 4

Q = - π 0,001 4 8.3,5 X 10 - 3 - 100 . 1 - 16 7 0,0001 0,001 + 4 3 0,0001 0,001 - 1 21 0,0001 0,001 4

Q = 3,226 X 10 - 9 m 3 / s

Portanto, a vazão na artéria é:

Q = 3,226 X 10 - 9 m 3 / s

Resposta

u = - 1 4 μ d p d x R 2 - R c 2 + 2 R c   R - R c                 ;               Q = 3,226 X 10 - 9 m 3 / s

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