Enunciado

Ar quente a 60 ℃ saindo da fornalha de uma casa entra em um duto de chapa metálica de 12   m de comprimento e seção transversal retangular de 20   c m × 20   c m com velocidade média de 4   m / s . A resistência térmica do duto é desprezível, e a superfície externa do duto, cuja emissividade é 0,3 , está exposta ao ar frio a 10 ℃ do porão, como coeficiente de transferência de calor por convecção de 10   W / m 2 ⋅ K . Considerando que as paredes do porão estão a 10 ℃ , igualmente, determine a a temperatura em que o ar quente deixa o porão e b a taxa de perda de calor do ar quente no duto para o porão.

Passo 1

Primeiro, temos que obter na tabela A-15 "Propriedades do ar a 1   a t m de pressão", as propriedades do ar na temperatura média global  50 ℃ , pois não temos a temperatura de saída. Assim temos:

ρ = 1,092   k g / m 3

k = 0,02735   W / m ⋅ K

ν = 1,798 × 10 - 5   m 2 / s

c p = 1007   J / k g ⋅ K

P r = 0,7228

Dados fornecidos:

T i = 60 ℃ = 333 K

T ∞ = 10 ℃ = 283 K

V m é d i a = 4   m / s

L = 12   m

a = 20   c m = 0,2   m

A c = 20   c m × 20   c m = 0,2   m × 0,2   m = 0,04   m 2

h o = 10   W / m 2 ⋅ K

ε = 0,3

Passo 2

Podemos começar calculando o comprimento da característica usando a seguinte equação:

L h = 4 A c p

Aqui,  L h é o comprimento característico,  A c é a área da seção transversal do duto e p  é o perímetro do duto. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L h = 4 × 0,04   m 2 4 × 0,2   m

L h = 0,2   m

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de Reynolds usando a seguinte equação:

R e = V m é d i a L h ν

Aqui, R e é o número de Reynolds,  V m é d i a é a velocidade do ar e  ν é a viscosidade cinemática do ar. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

R e = 4   m / s × 0,2   m 1,798 × 10 - 5   m 2 / s  

R e = 44493,88

Passo 4

Como o número de Reynolds é maior que 10.000 , o fluxo é turbulento. Assim o comprimento de entrada no fluxo turbulento é:

L t = 10 L h

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

L t = 10 × 0,2   m

L t = 2   m

Passo 5

Precisamos também calcular o número de Nusselt usando a seguinte equação:

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,3

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

N u = 0,023 × 44493,88 0,8 0,7228 0,3

N u = 109,16

Com o número de Nusselt, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor entre o ar quente e o duto de chapa metálico da seguinte maneira:

N u = h L h k

h = N u k L h

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

h = 109,16 × 0,02735   W / m ⋅ K   0,2   m

h = 14,093   W / m 2 ⋅ K  

Passo 6

Para operação constante, a transferência de calor do ar quente para o duto deve ser igual à transferência de calor do duto para o ambiente (por convecção e radiação), que também é igual à perda de energia do ar quente no duto.

Q ˙ = Q ˙ c o n v , i n = Q ˙ c o n v + r a d , e x = ∆ E ˙ a r   q u e n t e

Aqui  Q ˙ é a taxa de perda de calor do ar quente no duto para o porão.

Passo 7

Vamos então calcular a transferência de calor do ar quente para o duto da seguinte maneira:

Q ˙ c o n v , i n = h A s ∆ T l m

Q ˙ = h A s T e - T i ln ⁡ T s - T e T s - T i

Aqui  h é o coeficiente de transferência de calor no interior do duto, A s = 4 a L = 9,6   m 2 é a área superficial,   ∆ T l m é a diferença média logarítmica de temperatura, T e é a temperatura na qual o ar quente sairá do porão,  T i é a temperatura da entrada e T s é a temperatura na superfície. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q ˙ = 14,093   W / m 2 ⋅ K × 9,6   m 2 T e - 333 K ln ⁡ T s - T e T s - 333 K

Q ˙ = 143,3 W K × T e - 333 K ln ⁡ T s - T e T s - 333 K     E q .   1

Passo 8

Podemos também calcular a transferência de calor do duto para o ambiente da seguinte maneira:

Q ˙ = h o A s T s - T ∞ + ε A s σ T s 4 - T ∞ 4

Aqui,  h o é o coeficiente de transferência de calor do ar ambiente, σ é a constante de Stefan-Boltzmann,  T s é a temperatura média da superfície do duto,  ε é a emissividade e  T ∞ é a temperatura ambiente. Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q ˙ = 10 W m 2 ⋅ K × 9,6   m 2 × T s - 283 K + 0,3 × 9,6   m 2 × 5,67 × 10 - 8   W m 2 ⋅ K 4   × T s 4 - 283 K 4

Q ˙ = 96 W K × T s - 283 K + 1,63 × 10 - 7   W K 4   × T s 4 - 283 K 4       E q .   2

Passo 9

Agora, vamos calcular a perda de energia do ar quente no duto da seguinte maneira:

∆ E ˙ a r   q u e n t e = m ˙ c p T i - T e

Aqui  ∆ E ˙ a r   q u e n t e é a perda de energia do ar quente no duto, m ˙ = ρ A c V m é d i a é a vazão mássica do ar no duto e c p é o calor especifico do ar.

Q ˙ = ρ A c V m é d i a c p T i - T e

Substituindo os termos da equação pelos dados fornecidos, temos:

Q ˙ = 1,092   k g / m 3 × 0,04   m 2 × 4   m / s × 1007   J / k g ⋅ K   × T e - 333 K

Q ˙ = 175,94 W K × 333 K - T e       E q .   3

Passo 10

Agora, temos 3 equações e 3 icognitas. Podemos substituir uma na outra para encontrar a temperatura na qual o ar quente sairá do porão e a taxa de perda de calor do ar quente no duto para o porão.

Substituindo a equação 1 na equação 3 , temos:

143,3 × T e - 333 K ln ⁡ T s - T e T s - 333 K = 175,94 × 333 K - T e

143,3 × T e - 333 K ln ⁡ T s - T e T s - 333 K = - 175,94 × T e - 333 K

143,3 ln ⁡ T s - T e T s - 333 K = - 175,94

ln ⁡ T s - T e T s - 333 K = 143,3 - 175,94

T s - T e T s - 333 K = exp ⁡ 143,3 - 175,94

T e = T s - T s - 333 K exp ⁡ 143,3 - 175,94

T e = T s - 0,44287 T s - 333 K

T e = T s - 0,44287 T s + 147,47 K

T e = 0,55713 T s + 147,47 K     E q . 4

Agora, substituímos a equação 3 na equação 2 . Assim temos:

Q ˙ = 96 T s - 283 K + 1,63 × 10 - 7 T s 4 - 283 K 4

175,94 333 K - T e = 96 T s - 283 K + 1,63 × 10 - 7 T s 4 - 283 K 4

Agora, substituímos a equação 4 encontrada na relação acima. Assim temos:

175,94 333 K - 0,55713 T s - 147,47 K = 96 T s - 283 K + 1,63 × 10 - 7 T s 4 - 283 K 4

- 98,02 T s + 32641,22 = 96 T s - 27168 + 1,63 × 10 - 7 T s 4 - 1045,52

1,63 × 10 - 7 T s 4 + 194,02 T s - 60854,75 = 0

Passo 11

Com o auxilio de uma HP, temos que a temperatura na superfície é:

T s = 306,26   K = 33,26 ℃

Substituindo T s na equação 4 encontraremos a temperatura de saída. Assim temos:

T e = 0,55713 T s + 147,47 K

T e = 0,55713 × 306,26   K + 147,47 K

T e = 318,10   K = 45,10 ℃

Portanto, a temperatura na qual o ar quente sairá do porão é  45,10 ℃ .

Substituindo T e na equação 3 encontraremos a taxa de perda de calor. Assim temos:

Q ˙ = 175,94 W K × 333 K - 318,10   K

Q ˙ = 2621,1   W

Portanto, a taxa de perda de calor do ar quente no duto para o porão é  2621,1   W .

Resposta

T e = 45,10 ℃

Q ˙ = 2621,1   W

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