Enunciado

Para resfriar um armazém no verão sem usar sistema de ar condicionado convencional, o proprietário decidiu contratar um engenheiro para projetar um sistema alternativo que faça uso da água de um lago nas proximidades. O engenheiro decidiu passar o fluxo de ar através de um tubo fino liso de cobre de 10   c m de diâmetro submerso no lago. A água do lago está normalmente a uma temperatura constante de 15 ℃ , e o coeficiente de transferência de calor por convecção é 1.000   W / m 2 ⋅ K Considerando que o ar 1   a t m entra no tubo de cobre a uma temperatura média de 30 ℃ e a uma velocidade média de 2,5   m / s , determine o comprimento do tubo de cobre necessário de modo que a temperatura média de saída do ar seja 20 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do tubo fino liso de cobre: D = 10   c m = 0,1   m

Temperatura ambiente da água do lago: T ∞ = 15 ℃

Temperatura média de entrada do ar: T i = 30 ℃

Temperatura média de saída do ar: T e = 20 ℃

Velocidade média do fluxo de ar: V m é d i a = 2,5   m / s

Coeficiente de transferência de calor por convecção: h o = 1.000   W / m 2 ⋅ K

Passo 2

Primeiro, vamos começar calculando a temperatura média do ar no tubo. Assim temos:

T m é d i a = T i + T e 2

Aqui,  T m é d i a é a temperatura média do ar,  T i é a temperatura media do ar na entrada do tubo e  T o é a temperatura média do ar na saída do tubo. Substituindo os dados, temos:

T m é d i a = 30 ℃ + 20 ℃ 2 = 25 ℃

Com a temperatura média, podemos obter as propriedades do ar à temperatura  25 ℃ e pressão de  1   a t m na tabela do Apêndice A-15.

Calor específico de pressão constante: c p = 1007   J / k g ⋅ K

Condutividade térmica: k = 0,02551   W / m ⋅ K

Densidade: ρ = 1,184   k g / m 3

Viscosidade cinemática: ν = 1,562 × 10 - 5   m 2 / s

Número de Prandtl: P r = 0,7296

Passo 3

Futuramente vamos precisar da vazão mássica do ar através do tubo, então, vamos calcular a vazão mássica usando a fórmula:

m ˙ = ρ V m é d i a A t u b o

m ˙ = ρ V m é d i a π 4 D 2

Aqui, A t u b o é a área de fluxo do tubo e V m é d i a é a velocidade média do fluxo. Substituindo os termos da equação, temos:

m ˙ = 1,184   k g / m 3 × 2,5   m / s × π 4 × 0,1   m 2

m ˙ = 0,02325   k g / s

Passo 4

Agora, vamos encontrar o número de Reynolds para o fluxo. Podemos usar a seguinte relação:

R e = V m é d i a D ν

Aqui, ν é a viscosidade cinemática. Substituindo os termos da equação, temos:

R e = 2,5   m / s × 0,1   m 1,562 × 10 - 5   m 2 / s

R e = 16.005

Para esse processo, temos que R e > 10.000 , indicando que o fluxo totalmente turbulento.

Passo 5

Vamos agora calcular o número de Nusselt. Encontramos na tabela que P r = 0,7296 , e como o fluxo é turbulento e 0,7 ≤ P r ≤ 160 , podemos usar a equação de Dittus-Boelter para encontrar o número de Nusselt. Assim temos:

N u = 0,023 R e 0,8 P r n  

Como o ar que flui pelo tubo esta sendo refrigerado, n = 0,3 .

N u = 0,023 R e 0,8 P r 0,3  

Substituindo os termos da equação, temos:

N u = 0,023 16005 0,8 0,7296 0,3  

N u = 48,312

Com o número de Nusselt, podemos encontrar o coeficiente de transferência de calor por convecção na definição de número de Nusselt. Assim temos:

N u = h D k

h = k N u D

Aqui, k é a condutividade térmica. Substituindo os termos da equação, temos:

h = 0,02551   W / m ⋅ K × 48,312 0,1   m

h = 12,32   W / m 2 ⋅ K

Passo 6

Podemos aplicar a equação do balanço de energia na superfície do tubo. Onde podemos igualar a taxa de transferência de calor para a água do lago.

Q ˙ = h o A s T s - T ∞

Com a transferência de calor para o ar:

Q ˙ = m ˙ c p T i - T e

Igualando as duas equações, temos:

m ˙ c p T e - T i = h o A s T s - T ∞

Aqui, m ˙ é o fluxo mássico, c p é o calor específico, T i é a temperatura do ar na entrada, T e é a temperatura do ar na saída, T ∞ é a temperatura da agua do lago, A s é área da superfície do tubo π D L e h é coeficiente de transferência de calor por convecção.

m ˙ c p T i - T e = h o π D L T s - T ∞

L = m ˙ c p T i - T e h o π D T s - T ∞           E q : 1

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

L = 0,02325   k g / s × 1007   J / k g ⋅ K × 30 ℃ - 20 ℃ 1000   W / m 2 ⋅ K × π × 0,1   m × L × T s - 15 ℃

L = 0,74525   m ⋅ K T s - 15 ℃       E q : 2

Passo 7

Agora, vamos usar a fórmula da temperatura média do fluido na saída para encontrar o comprimento do tubo. Assim temos:

T e = T s - T s - T i exp ⁡ - h A s m ˙ c p

Reorganizando, temos:

T s - T e T s - T i = exp ⁡ - h A s m ˙ c p

ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h A s m ˙ c p

Aqui  T i é a temperatura do fluxo de entrada,  T s é a temperatura da superfície do tubo,  T e é a temperatura do fluxo de saída,  A s é a área da superfície,  h o coeficiente de transferência de calor e  m ˙ é a vazão mássica. Temos que A s = π D L .

ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h π D L m ˙ c p

L = - m ˙ c p h π D × ln ⁡ T s - T e T s - T i     E q : 3

Passo 8

Substituindo a equação 1 na equação 3 encontrasdas nos passos 6 e 7 , temos:

m ˙ c p T i - T e h o π D T s - T ∞ = - m ˙ c p h π D × ln ⁡ T s - T e T s - T i

h T i - T e h o T s - T ∞ = - m ˙ c p π D m ˙ c p π D × ln ⁡ T s - T e T s - T i

h T i - T e h o T s - T ∞ = - ln ⁡ T s - T e T s - T i

T s - T ∞ ln ⁡ T s - T e T s - T i = - h T i - T e h o

Substituindo os termos pelos dados fornecidos no enunciado, temos:

T s - 15 ℃ ln ⁡ T s - 20 ℃ T s - 30 ℃ = - 12,32   W / m 2 ⋅ K 30 ℃ - 20 ℃ 1000   W / m 2 ⋅ K

T s - 15 ℃ ln ⁡ T s - 20 ℃ T s - 30 ℃ = - 0,1232

Com o auxilio de uma calculadora HP, temos que a temperatura na superfície é:

T s = 15,11 ℃

Substituindo a temperatura da superfície do tubo na equação 2 podemos encontrar o comprimento do tubo. Assim temos:

L = 0,74525   m ⋅ K T s - 15 ℃       E q : 2

L = 0,74525   m ⋅ K 15,11 ℃ - 15 ℃

L = 6,775   m

Portanto, o comprimento necessário do tubo de cobre é  6,775   m .

Resposta

L = 6,775   m

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