Enunciado

Um recipiente esférico e oco de ferro com 20 cm de diâmetro externo e 0,4 cm de espessura contém uma mistura de água e gelo a 0°C. Considerando que a temperatura da superfície externa é de 5 °C, determine a taxa aproximada de perda de calor da esfera em kW e a taxa em que o gelo derrete no recipiente. O calor de fusão da água é de 333,7 kJ/kg.

Passo 1

Vou analisar o enunciado junto com você pra gente entender o que o problema quer de você.

Primeiro, o enunciado nos pede para calcularmos a taxa de calor que vem da superfície externa da esfera oca da esfera. Para isso, vamos utilizar a equação da condução de calor deduzida neste capítulo do livro:

Q ˙ c o n d = k A ∆ T L

Você agora deve estar se perguntando: “MAS ESPERA UM POUCO! Essa equação não era válida apenas pra paredes planas????”

Sim, você tem razão! Mas no Passo 2 eu vou te ensinar a sair desse impasse.

Pois bem, continuando nossa análise da questão: depois de você calcular a taxa de calor que vem da superfície externa da esfera, você deve calcular a taxa em massa na qual o gelo derrete, simplesmente dividindo a taxa de calor que você já vai ter calculado pelo calor de fusão da água que foi fornecido pelo enunciado.

Vamo começar, então?

Passo 2

Como eu havia adiantado no passo anterior pra você, nós vamos poder utilizar a equação da condução do calor para resolver esse problema. Mas como?

Preste atenção nas dimensões da esfera oca. Ela tem uma espessura de 0,4 c m e um diâmetro de 20 c m . Se fizermos uma razão da espessura pelo diâmetro, vamos obter:

0,4   c m 20   c m = 0,02

Note que um número muito pequeno. Ou seja, a espessura é muito pequena se comparada ao diâmetro total da esfera.

Tá, mas o que isso significa?

Bem, se a gente fosse olhar bem próximo à região onde está acontecendo a transferência de calor, nós poderíamos observar que a curvatura da esfera não faria diferença nenhuma, pois seu diâmetro é muito grande. Então, nos acabaríamos “enxergando” uma placa plana de espessura L   =   0,4   c m . Uma analogia que podemos fazer é com a ideia da gente está aqui na Terra e não percebermos a curvatura do nosso planeta.

Ou seja, pra fins de transferência de calor, a esfera oca do problema pode ser analisada como uma placa plana de espessura L   =   0,4   c m . Sendo assim:

Q ˙ c o n d = k A ∆ T L

Antes de realizar esse cálculo precisamos buscar a condutividade térmica do ferro a temperatura ambiente na Tabela A-3 (página 868), onde encontramos k = 80,2   W / m ° . C .

Além disso, devemos calcular a área da casca esférica como:

A =   π D 2 =   π 0,2   m 2 = 0,126   m ²

Substituindo na equação:

Q ˙ c o n d = ( 80,2   W / m ° . C ) ( 0,126   m ² ) 5 ° C - 0 ° C 0,004   m   = 12,63   k J / s

Passo 3

Como eu havia te falado no Passo 1, para calcular a taxa na qual o gelo derrete basta dividirmos a taxa de calor encontrada no passo 2 pelo calor de fusão da água fornecido pelo enunciado:

m ˙ = Q ˙ c o n d h f =   12,63   k J / s 333,7   k J / k g = 0,038   k g / s

Resposta

Como demonstrado nos passos anteriores, a taxa de perda de calor da esfera e a taxa mássica na qual o gelo derrete são, respectivamente, Q ˙ c o n d = 12,63   k J / s e m ˙ = 0,038   k g / s   .

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