Enunciado

Reconsiderar Prob. 9-41. A fim de reduzir as perdas de calor, propõe-se isolar a tubulação de vapor com isolamento de 5   c m de espessura de fibra de vidro ( k = 0,038   W / m ∙ K ) e envolvê-la com folha de alumínio ( ε = 0,1 ) , para minimizar as perdas de radiação. O empreiteiro do isolamento local se propôs a fazer o serviço por U S $   750 . incluindo material e mão de obra. Você apoiaria esta proposta? Em quanto tempo a energia economizada pagaria o isolamento? Considere que a temperatura do tubo de vapor permaneça constante a 170 ℃ .

Passo 1

Dados fornecidos:

Diâmetro do tubo de vapor antes do isolamento: D 1 = 6,03   c m = 0,0603   m  

Diâmetro do tubo de vapor após o isolamento: D 2 = 16,03   c m = 0,1603   m

Comprimento do tubo de vapor: L = 45   m  

Área da superfície antes do isolamento: A s 1 = π D L = 8,525   m 2

Área da superfície após do isolamento: A s 2 = π D L = 22,662   m 2

Emissividade da folha de alumínio: ε = 0,1  

Emissividade da superfície do tubo: ε 1 = 0,7  

Condutividade térmica do isolamento: k = 0,038   W / m ∙ K

Temperatura ambiente: T ∞ = 20 ℃ = 293   K  

Temperatura da superfície externa do tubo: T s 1 = 170 ℃ = 443   K  

Horas de operações: t = 8760   h o r a s = 31536000   s

Eficiência do forno a gás: η = 0,84

Custo do gás: 1,10 U S $ / 105500   k J

Premissas:

1) Existem condições operacionais estáveis.

2) O ar é um gás ideal com propriedades constantes.

3) A pressão atmosférica local é de 1 atm.

Passo 2

Para resolver essa questão vamos começar calculando a temperatura média de filme antes do isolamento. Assim temos:

T f = T s 1 - T ∞ 2 = 170 ℃ - 20 ℃ 2 = 95 ℃ = 368   K

Com a temperatura de filme, vamos encontrar as propriedades do ar a 95 ℃ na Tabela A-15. Assim temos:

Condutividade térmica: k = 0,0306   W / m ⋅ K

Viscosidade cinemática: ν = 2,252 × 10 - 5   m 2 / s

Número de Prandtl: P r = 0.7121

Coeficiente de expansão volumétrica: β = 1 / T f = 1 / 368   K = 0,002717   K - 1

Passo 3

Temos que o comprimento característico L c é igual ao diâmetro D 1 . Agora, vamos calcular o Número Rayleigh. Podemos fazer isso usando a seguinte relação:

R a = g β T s 1 - T ∞ L c 3 ν 2 × P r

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

R a = 9,81   m / s 2 0,002717   K - 1 170 ℃ - 20 ℃ 0,0603   m 3 2,252 × 10 - 5   m 2 / s 2 × 0.7121

R a = 1,231 × 10 6

Passo 4

Agora, vamos calcular o Número Nusselt usando a seguinte relação:

N u = 0,6 + 0.38 R a 1 / 6 1 + 0,559 / P r 9 / 16 8 / 27 2

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

N u = 0,6 + 0.38 1,231 × 10 6 1 / 6 1 + 0,559 / 0.7121 9 / 16 8 / 27 2 = 15,42

Com o Número Nusselt podemos encontrar o coeficiente de transferência de calor pela definição do número de Nusselt. Assim temos:

N u = h 1 L c k → h 1 = N u k L c

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

h 1 = N u k L c = 15,42 × 0,0306   W / m ⋅ K 0,0603   m = 7,823   W / m 2 ⋅ K

Passo 5

Temos então, que a perda total de calor pode ser obtida através da seguinte relação:

Q ˙ t o t a l , 1 = Q ˙ c o n v , 1 + Q ˙ r a d , 1

A perda de calor por convecção é:

Q ˙ c o n v , 1 = h 1 A s 1 T s 1 - T ∞

Q ˙ c o n v , 1 = 7,823   W / m 2 ⋅ K 8,525   m 2 170 ℃ - 20 ℃

Q ˙ c o n v , 1 = 10003,32   W = 10,003   k W

A perda de calor por radiação é:

Q ˙ r a d , 1 = ε 1 σ A s 1 T s 1 4 - T ∞ 4

Q ˙ r a d , 1 = 0,7 5,6 7 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 8,525   m 2 443   K 4 - 293 4

Q ˙ r a d , 1 = 10537,31   W = 10,537   k W

A perda total antes do isolamento é:

Q ˙ t o t a l , 1 = 10,003   k W + 10,537   k W = 20,540   k W

Passo 6

Após isolamento, vamos considerar que a temperatura da superfície é mantida a 35 ℃ , ou seja, T s 2 = 35 ℃ . Vamos então calcular a temperatura média de filme após do isolamento. Assim temos:

T f = T s 2 - T ∞ 2 = 35 ℃ - 20 ℃ 2 = 27,5 ℃ = 300,5   K

Com a temperatura de filme, vamos encontrar as propriedades do ar a 27,5 ℃ na Tabela A-15. Assim temos:

Condutividade térmica: k = 0,0 257   W / m ⋅ K

Viscosidade cinemática: ν = 1,584 × 10 - 5   m 2 / s

Número de Prandtl: P r = 0.7 289

Coeficiente de expansão volumétrica: β = 1 / T f = 1 / 300 , 5   K = 0,00 3328   K - 1

Passo 7

Temos que o comprimento característico L c é igual ao diâmetro D 2 . Agora, vamos calcular o Número Rayleigh. Podemos fazer isso usando a seguinte relação:

R a = g β T s 2 - T ∞ L c 3 ν 2 × P r

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

R a = 9,81   m / s 2 0,003328   K - 1 35 ℃ - 20 ℃ 0,1603   m 3 1,584 × 10 - 5   m 2 / s 2 × 0.7289

R a = 5,856 × 10 6

Passo 8

Agora, vamos calcular o Número Nusselt usando a seguinte relação:

N u = 0,6 + 0.38 R a 1 / 6 1 + 0,559 / P r 9 / 16 8 / 27 2

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

N u = 0,6 + 0.38 5,856 × 10 6 1 / 6 1 + 0,559 / 0.7289 9 / 16 8 / 27 2 = 24,23

Com o Número Nusselt podemos encontrar o coeficiente de transferência de calor pela definição do número de Nusselt. Assim temos:

N u = h 2 L c k → h 2 = N u k L c

Substituindo os termos da equação pelos dados obtidos, temos:

h 2 = N u k L c = 24,23 × 0,0257   W / m ⋅ K 0,1603   m = 3.884   W / m 2 ⋅ K

Passo 9

Temos então, que a perda total de calor pode ser obtida através da seguinte relação:

Q ˙ t o t a l , 2 = Q ˙ c o n v , 2 + Q ˙ r a d , 2

A perda de calor por convecção é:

Q ˙ c o n v , 2 = h 2 A s 2 T s 2 - T ∞

Q ˙ c o n v , 2 = 3.884   W / m 2 ⋅ K 22,662   m 2 35 ℃ - 20 ℃

Q ˙ c o n v , 2 = 1320.28   W = 1,320   k W

A perda de calor por radiação é:

Q ˙ r a d , 2 = ε 2 σ A s 2 T s 2 4 - T ∞ 4

Q ˙ r a d , 2 = 0 , 1 5,67 × 10 - 8   W / m 2 ⋅ K 4 22,662   m 2 300,5   K 4 - 293 4

Q ˙ r a d , 2 = 10 0,75   W = 1 , 00 7   k W

A perda total após o isolamento é:

Q ˙ t o t a l , 2 = 1,320   k W + 1,007   k W = 1,421   k W

Passo 10

Em operação em estado estacionário, o calor perdido pelas superfícies laterais do tubo deve ser igual ao calor perdido da superfície exposta do isolamento por convecção e radiação, que deve ser igual ao calor conduzido através do isolamento.

T s 1 é a temperatura na superfície do tubo  que é 170 ℃ .

T s 2 é a temperatura na superfície do isolamento.

Q ˙ i s o l a m e n t o = T s 1 - T s 2 R i s o l a m e n t o

Q ˙ i s o l a m e n t o = T s 1 - T s 2 [ ln ⁡ D 2 / D 1 ] / 2 π k L

1,421   k W = 170 ℃ - T s 2 ln ⁡ 0,1603   m / 0,0603   m 2 π 0,038   W / m ∙ K 45   m

T s 2 = 40 ℃

Assim temos que a temperatura assumida é próxima e não precisamos refazer os cálculos com uma aproximação melhor.

Passo 11

Temos que a redução da perda de calor é a seguinte:

Q ˙ r e d u ç ã o = Q ˙ t o t a l , 1 - Q ˙ t o t a l , 2 = 20,540   k W - 1,421   k W = 19,119   k W

O calor fornecido de gás natural que esta sendo economizado é o seguinte:

Q g á s = Q ˙ r e d u ç ã o ∆ t η = 19,119   k W 31536000   s 0,84 = 717781885,714   k J

O dinheiro anual economizado de gás devido ao isolamento é:

U S $ e c o n o m i z a d o = Q g á s × c u s t o   d o   g á s

U S $ e c o n o m i z a d o = 717781885,714   k J × U S $   1,10 105500   k J

U S $ e c o n o m i z a d o = U S $   748 4 / A n o

O tempo necessário para que o isolamento se pague com a energia que economiza é:

t = U S $   750 U S $   7484 / A n o × 365   d i a s 1   A n o = 36,6   d i a s

Portanto, o custo do isolamento é pago em 36,6   d i a s .

Resposta

t = 36,6   d i a s

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