Enunciado

Reconsidere o Prob. 2-91. Usando a relação obtida para a variação da temperatura na esfera, trace a temperatura como função do raio r no intervalo de r = 0 a r = r 0 . Trace também a temperatura no centro da esfera como função da condutividade térmica no intervalo de 10   W / m ⋅ K a 40 0   W / m ⋅ K . Discuta os resultados obtidos

Passo 1

O nosso primeiro passo é relembrar a distribuição de temperatura na questão anterior. Com isto, temos:

T r = - e ˙ g e r 6 k r 2 + 110 + e ˙ g e r 6 k r 0 2

Vamos começar analisando a variação da temperatura em função do raio. Desta forma, vamos substituir os valores das constantes em relação a questão anterior. Com isto, obtemos a seguinte função:

T r = - 5,555 ⋅ 10 5 ⋅ r 2 + 999

Plotando o gráfico desta função, temos:

Este resultado era esperado, visto que a temperatura máxima ocorre no centro da esfera, e a mínima na sua superfície.

Passo 2

Para obtermos a temperatura no centro da esfera como função da condutividade térmica, basta fazermos k uma variável e r = 0 na função descrita no Passo 1. Com isto, temos:

T r = - e ˙ g e r 6 k r 2 + 110 + e ˙ g e r 6 k r 0 2

T k = 110 + 5 ⋅ 10 7 ⋅ 0,04 2 6 ⋅ 1 k  

T k = 110 + 13333,33 k

Plotando o gráfico desta função, temos:

À medida que aumentamos a condutividade térmica, aumenta a capacidade da esfera de conduzir calor. Consequentemente, a esfera dissipa calor mais facilmente. É por causa disto que a temperatura no centro diminui à medida que aumentamos a condutividade, pois conseguimos dissipar calor mais facilmente.

Resposta

Em relação a variação de temperatura como função do raio, temos:

Este resultado era esperado, visto que a temperatura máxima ocorre no centro da esfera, e a mínima na sua superfície.

Já em relação a condutividade térmica constante, temos:

O aumento da condutividade térmica implica no aumento da capacidade da esfera de conduzir calor. Consequentemente, diminui-se a sua temperatura no centro.

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