Enunciado

Repita o Pob, 4-49 para um costela assada que deve estar “bem passada” em vez de “mal passada”. Uma costela é considerada “bem passada” quando a temperatura no centro atinge 77 ℃ ; nesse caso, o cozimento leva cerca de 4 horas e 15 minutos.

Passo 1

Dados:

Tempo de forno: t = 4 horas e 15 minutos = 15300   s

Massa da costela: m = 3,2   k g

Temperatura inicial: T i = 4,5 ℃

Temperatura no forno: T ∞ = 163 ℃ .

Temperatura final na parte espessa da carne: T o = 77 ℃

Densidade da carne: ρ = 1.200   k g / m 3

Calor específico: c p = 4,1   k J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da carne: k = 0,45   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da carne:  α = 0,91 × 10 - 7   m 2 / s

Premissas:

A costela é um objeto esférico homogêneo.

A condução de calor na costela é unidimensional devido à simetria sobre o ponto médio.

As propriedades térmicas da costela são constantes.

O coeficiente de transferência de calor é constante e uniforme em toda a superfície.

O número de Fourier é >   0,2 , de modo que as soluções aproximadas de um termo (ou as tabelas de temperaturas transitórias) são aplicáveis ​​(essa suposição será verificada).

Passo 2

a) Para resolver essa questão, vamos começar calculando o volume do assado.

V = m ρ

Aqui,  V  é o volume do assado,  m  é a massa do assado e  ρ é a densidade do assado. Substituindo pelos valores fornecidos, temos:

V = 3,2   k g 1.200   k g / m 3 = 0,002667   m 3

Vamos considerar o assado como sendo uma esfera. Assim podemos calcular o raio do assado da seguinte maneira:

V = 4 3 π r o 3

r o = 3 4 π V 1 3

Aqui  r o é o raio do assado. Substituindo o volume encontrado, temos:

r o = 3 4 π × 0,002667   m 3 1 3

r o = 0,086025   m

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número de Fourier usando a seguinte expressão:

τ = α t r o 2

Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

τ = 0,91 × 10 - 7   m 2 / s × 15300   s 0,086025   m 2

τ = 0,18814

Como o Fourier está um pouco abaixo do valor de 0,2 , portanto, a solução aproximada de termo único (ou os gráficos de temperatura transitória) ainda pode ser usada, com o entendimento de que o erro envolvido será um pouco mais de 2%.

Passo 4

A solução aproximada com um termo para esfera pode ser escrita da seguinte maneira.

θ o , e s f e r a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui,  T o é a temperatura do assado no centro (parte mais espessa),  T i é a temperatura inicial,  T ∞ é a temperatura no forno, A 1 e λ 1 são as constantes. Substituindo os valores conhecido ficamos com a seguinte equação:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

77 ℃ - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ = A 1 e - λ 1 2 0,18814

0,54259 = A 1 e - λ 1 2 0,18814

Passo 5

Precisamos encontrar valores para A 1 e λ 1 que satisfaça a equação encontrada no passo anterior. Podemos escrever a equação de uma forma que fique mais facil a visualização. Assim temos:

0,54259 = A 1 e - λ 1 2 0,18814

ln ⁡ 0,54259 = ln ⁡ A 1 e - λ 1 2 0,18814

ln ⁡ 0,54259 = ln ⁡ A 1 + ln ⁡ e - λ 1 2 0,18814

ln ⁡ 0,54259 = ln ⁡ A 1 - λ 1 2 0,18814

λ 1 2 0,18814 - ln ⁡ A 1 + ln ⁡ 0,54259 = 0

Os valores para A 1 e λ 1 precisão satisfazer a equação acima. Podemos usar o método de tentativa e erro para poder obtê-los. Se olharmos na tabela 4-2, os valores que irão satisfazer a equação são A 1 = 1,7402 e λ 1 = 2,4900 .

Com as constantes encontradas, podemos obter o número Biot para  λ 1 = 2,4900 e A 1 = 1,7402 na tabela 4-2 "coeficientes utilizados ​​na solução aproximada do termo da condução de calor transiente unidimensional em paredes planas, cilindros e esferas".

Na tabela, vamos entrar que o número de Biot para A 1 = 1,7402 e λ 1 = 2,4900 é B i = 4,3 .

Passo 6

Agora, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Substituindo os valores conhecidos, temos:

4,3 = h × 0,086025   m 0,45   W / m ⋅ K

h = 22,5   W / m 2 ⋅ K

Portanto, o coeficiente de transferência de calor é  22,5   W / m 2 ⋅ K .

Passo 7

b) Podemos calcular a temperatura da superfície externa da costela usando a seguinte relação:

θ s , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o

Na superfície, temos que r = r o , assim, a equação fica:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o r o λ 1 r o r o

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Aqui  T s é a temperatura na superfície da costela. Substituindo os dados conhecidos, temos:

T s - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ = 1,7402   e - 2,49 2 × 0,18814 × sen ⁡ 2,49 2,49

T s - 163 ℃ - 158,5 ℃ = 0 , 132

T s = 163 ℃ - 158,5 ℃ × 0,132

T s = 142,1 ℃

Portanto, a temperatura da superfície externa da costela é  142,1 ℃ .

Passo 8

c) Para calcular a quantidade de calor transferido para a costela, primeiro nós precisamos calcular a máxima transferência de calor possível com a seguinte equação:

Q m á x = m c p T ∞ - T i

Aqui  Q m á x é a máxima transferência de calor possível e  c p é o calor específico da pressão constante. Substituindo pelos dados conhecidos, temos:

Q m á x = 3,2   k g × 4,1   k J / k g ⋅ K × 163 ℃ - 4,5 ℃

Q m á x = 2079,52   k J  

Agora, calculamos a quantidade de calor transferido para a costela com a seguinte expressão:

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 θ o , e s f e r a sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Aqui,  Q  é a quantidade real de calor transferido.

Q = Q m á x 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Substituindo pelos dados conhecido, temos:

Q = 2079,52   k J × 1 - 3 × 77 ℃ - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ × sen ⁡ 2,49   - 2,49   cos ⁡ 2,49   2,49   3

Q = 2079,52   k J × 1 - 0,2 7269

Q = 1512,45   k J

Portanto, a quantidade real de transferência de calor é  1512,45   k J .

Passo 9

d) Para estimar o tempo necessário para assar a costela até estar “no ponto”, o que ocorre quando a parte interna da costela atinge a temperatura de 71 ℃ , calculamos primeiro o número de Fourier na temperatura mais interna de 71 ℃ utilizando a seguinte equação:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo pelos dados conhecidos, temos:

71 ℃ - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ = 1,7402 e - 2,49 2 τ

0,5804 = 1,7402 e - 6,2001 τ

0 , 3335 = e - 6,2001 τ

ln ⁡ 0,3335 = ln ⁡ e - 6,2001 τ

ln ⁡ 0,3335 = - 6,2001 τ

τ = ln ⁡ 0,3335 - 6,2001

τ = 0 , 1771

Passo 10

Podemos calcular o tempo apara que a costela fique bem passada usando a seguinte formula:

τ = α t r o 2

Isolando t na equação.

t = τ r o 2 α

Substituindo os valores.

t = 0,1771 × 0,086025   m 2 0,91 × 10 - 7   m 2 / s

t = 14402,12   s

t = 240   m i n

t = 4   h o r a s    

Portanto, o tempo médio de cozimento para costela é  4   h o r a s .

Resposta

a) h = 22,5   W / m 2 ⋅ K

b) T s = 142,1 ℃

c) Q = 1512,45   k J

d) t = 4   h o r a s

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