Enunciado

Barras cilíndricas longas de aço inoxidável AISI k = 13,4   W / m ⋅ K   e   α = 3,48 × 10 - 6   m 2 / s de 10   c m de diâmetro são tratadas termicamente passando à velocidade de 2   m / m i n por um forno de 6   m de comprimento mantido a 900 ℃ . O coeficiente de transferência de calor no forno é 115   W / m 2 ⋅ K . Considerando que as barras entram na estufa a 20 ℃ , determine a temperatura na linha do centro quando saem.

Passo 1

Dador fornecidos no enunciado:

Diâmetro da barra cilíndrica: D = 10   c m = 0,1   m

Condutividade térmica do aço inoxidável:   k = 13,4   W / m ⋅ K

Difusividade térmica do aço inoxidável:  α = 3,48 × 10 - 6   m 2 / s

Coeficiente de transferência de calor: h = 115   W / m 2 ⋅ K

Temperatura do forno:  T ∞ = 900 ℃

A temperatura inicial:  T i = 20 ℃

Comprimento do forno: ∆ S = 6   m

Velocidade da barra no forno: ∆ V = 2   m / m i n  

Premissas:

As hastes cilíndricas de aço longas são tratadas termicamente em um forno.

A condução de calor nas hastes é unidimensional, pois as hastes são longas e possuem simetria térmica na linha central.

O coeficiente de transferência de calor é constante e uniforme em toda a superfície.

O número de Fourier é >   0,2 , para que as soluções aproximadas de um termo sejam aplicáveis.

Passo 2

Primeiramente vamos encontrar o tempo que a barra de aço permanece no forno usando a seguinte equação:

∆ t = ∆ S ∆ V

Aqui,  ∆ S  é o comprimento do forno, ∆ V  é a velocidade da barra de aço passando pelo forno. Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

∆ t = 6   m 2   m / m i n = 3   m i n = 180   s

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número de Fourier usando a seguinte expressão:

τ = α t r o 2

Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

τ = 3,48 × 10 - 6   m 2 / s × 180   s 0,05   m 2

τ = 0,25056

Aqui, o Fourier é maior que 0,2 , portanto, as soluções aproximadas de termo único são aplicáveis.

Passo 4

Podemos encontrar o número do Biot usando a seguinte expressão:

B i = h r o k

Aqui,  h  é o coeficiente de transferência de calor e k  é a condutividade térmica da barra. Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

B i = 115   W / m 2 ⋅ K × 0,05   m 13,4   W / m ⋅ K

B i = 0,4291

Passo 5

Obtenha as constantes λ 1 e A 1  correspondentes a este número Biot na tabela "Coeficientes utilizados na solução aproximada do termo da condução de calor transiente unidimensional em cilindros, Tabela 4-2". Usando interpolação, temos:

λ 1 0,4291 = 0,8516 + 0,9408 - 0,8516 × 0,4291 - 0,4 0,5 - 0,4

λ 1 0,4291 = 0,87 76

A 1 0,4291 = 1,0931 + 1,1143 - 1,0931 × 0,4291 - 0,4 0,5 - 0,4

A 1 0,4291 = 1,09 93

Passo 6

Agora, podemos então usar a solução para condução transiente unidimensional em um cilindro de raio r o submetido à condução em todas as superfícies. Devido estamos interessado na temperatura na linha central do cilindro, podemos usar a seguinte equação:

T t - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo os valores fornecidos e encontrados nos passos anteriores, temos:

T t - 900 ℃ 20 ℃ - 900 ℃ = 1,09 93 × e - 0,87 76 2 × 0,25056

T t = 900 ℃ - 880 ℃ 0,90 637

T t = 10 2 , 39 ℃

Portanto, a temperatura da linha central da barra quando sai do forno é  101,26 ℃ .

Resposta

T t = 10 2,39 ℃

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Considere as condições do Problema 5.27. Além de levar em conta a transferência de calor por convecção diretamente do chip para o refrigerante, uma análise mais realista deveria também levar em consid
Ligas com memória de forma (Shape Memory Alloys – SMA) são metais que passam por mudanças na estrutura cristalina em uma faixa de temperatura relativamente pequena. Uma transformação de fase de marten
Considere o sistema do Problema 5.1, no qual, durante o processo transiente, a temperatura na placa é isotérmica em relação às coordenadas espaciais.(a) Obtenha uma expressão para a temperatura da pla
Um longo fio com diâmetro D=1m m está submerso em um banho de óleo que se encontra a T ∞=25 ° C . O fio apresenta uma resistência elétrica por unidade de comprimento de R e ' =0,01Ω / m . Se uma corre
Um circuito integrado (chip), que tem L = 5 mm de lado e espessura t=1m m , é encaixado em um substrato cerâmico. Sua superfície exposta é resfriada por convecção por um líquido dielétrico com h=150W