Enunciado

O livro de receitas de culinária Betty Crocker’s Cookbook informa que leva 2 horas e 45 minutos para assar 3,2   k g de costela inicialmente a 4,5 ℃ em um forno mantido a 163 ℃ . Recomenda-se que um termômetro de carne seja usado para controlar o cozimento e considera-se que as costelas estão “mal passadas” quando o termômetro inserido no centro da parte mais espessa da carne registra 60 ℃ . A costela pode ser tratada como um objeto esférico homogêneo com propriedades ρ = 1.200   k g / m 3 , c p = 4,1   k J / k g ⋅ K , k = 0,45   W / m ⋅ K e α = 0,91 × 10 - 7   m 2 / s . Determine a o coeficiente de transferência de calor na superfície da costela; b a temperatura da superfície externa da costela quando estiver “mal passada” e c a quantidade de calor transferido para a costela. d Utilizando os valores obtidos, preveja o tempo necessário para assar a costela até estar “no ponto”, o que ocorre quando a parte interna da costela atinge a temperatura de 71 ℃ . Compare o resultado com o valor previsto de 3 horas e 20 minutos.

Se a costela assada for colocada sobre um balcão por cerca de 15 minutos antes de ser cortada, recomenda-se que seja retirada do forno quando o termômetro registrar cerca de 4 ℃ abaixo do valor recomendado, pois a costela continua a cozinhar mesmo depois que é retirada do forno. Você concorda com essa recomendação?

Passo 1

Dados fornecidos no enunciado:

Tempo de forno: t = 2 horas e 45 minutos = 9900   s

Massa da costela: m = 3,2   k g

Temperatura inicial: T i = 4,5 ℃

Temperatura no forno: T ∞ = 163 ℃ .

Temperatura final na parte espessa da carne: T o = 60 ℃

Densidade da carne: ρ = 1.200   k g / m 3

Calor específico: c p = 4,1   k J / k g ⋅ K

Condutividade térmica da carne: k = 0,45   W / m ⋅ K

Difusividade térmica da carne:  α = 0,91 × 10 - 7   m 2 / s

Passo 2

a) Para resolver essa questão, vamos começar calculando o volume do assado.

V = m ρ

Aqui,  V  é o volume do assado,  m  é a massa do assado e  ρ é a densidade do assado. Substituindo pelos valores fornecidos, temos:

V = 3,2   k g 1.200   k g / m 3 = 0,002667   m 3

Vamos considerar o assado como sendo uma esfera. Assim podemos calcular o raio do assado da seguinte maneira:

V = 4 3 π r o 3

r o = 3 4 π V 1 3

Aqui  r o é o raio do assado. Substituindo o volume encontrado, temos:

r o = 3 4 π × 0,002667   m 3 1 3

r o = 0,086025   m

Passo 3

Agora, vamos encontrar o número de Fourier usando a seguinte expressão:

τ = α t r o 2

Substituindo pelos dados fornecidos, temos:

τ = 0,91 × 10 - 7   m 2 / s × 9900   s 0,086025   m 2

τ = 0,1217

Como o Fourier está um pouco abaixo do valor de 0,2 , portanto, a solução aproximada de termo único (ou os gráficos de temperatura transitória) ainda pode ser usada, com o entendimento de que o erro envolvido será um pouco mais de 2%.

Passo 4

A solução aproximada com um termo para esfera pode ser escrita da seguinte maneira.

θ o , e s f e r a = T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Aqui,  T o é a temperatura do assado no centro (parte mais espessa),  T i é a temperatura inicial,  T ∞ é a temperatura no forno, A 1 e λ 1 são as constantes. Substituindo os valores conhecido ficamos com a seguinte equação:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

60 ℃ - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ = A 1 e - λ 1 2 0,1217

0,65 = A 1 e - λ 1 2 0,1217

Passo 5

Precisamos encontrar valores para A 1 e λ 1 que satisfaça a equação encontrada no passo anterior. Podemos escrever a equação de uma forma que fique mais facil a visualização. Assim temos:

0,65 = A 1 e - λ 1 2 0,1217

ln ⁡ 0,65 = ln ⁡ A 1 e - λ 1 2 0,1217

ln ⁡ 0,65 = ln ⁡ A 1 + ln ⁡ e - λ 1 2 0,1217

ln ⁡ 0,65 = ln ⁡ A 1 - λ 1 2 0,1217

λ 1 2 0,1217 - ln ⁡ A 1 + ln ⁡ 0,65 = 0

Os valores para A 1 e λ 1 precisão satisfazer a equação acima. Podemos usar o método de tentativa e erro para poder obtê-los. Se olharmos na tabela 4-2, os valores que irão satisfazer a equação são A 1 = 1,9898 e λ 1 = 3,0372 .

Com as constantes encontradas, podemos obter o número Biot para  λ 1 = 3,0372 e A 1 = 1,9898 na tabela 4-2 "coeficientes utilizados ​​na solução aproximada do termo da condução de calor transiente unidimensional em paredes planas, cilindros e esferas".

Na tabela, vamos entrar que o número de Biot para A 1 = 1,9898 e λ 1 = 3,0372  é B i = 30 .

Passo 6

Agora, podemos calcular o coeficiente de transferência de calor usando a seguinte relação:

B i = h r o k

Substituindo os valores conhecidos, temos:

30 = h × 0,086025   m 0,45   W / m ⋅ K

h = 156,93 W / m 2 ⋅ K

Portanto, o coeficiente de transferência de calor é  156,93 W / m 2 ⋅ K .

Passo 7

b) Podemos calcular a temperatura da superfície externa da costela quando estiver “mal passada” usando a seguinte relação:

θ s , e s f e r a = T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r r o λ 1 r r o

Na superfície, temos que r = r o , assim, a equação fica:

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 r o r o λ 1 r o r o

T s - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ sen ⁡ λ 1 λ 1

Aqui  T s é a temperatura na superfície da costela. Substituindo os dados conhecidos, temos:

T s - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ = 1,9898 e - 3,0372 2 × 0,1217 × sen ⁡ 3,0372 3,0372

T s - 163 ℃ - 158,5 ℃ = 0,022216

T s = 163 ℃ - 158,5 ℃ × 0,022216

T s = 159,48 ℃

Portanto, a temperatura da superfície externa da costela é  159,48 ℃ .

Passo 8

c) Para calcular a quantidade de calor transferido para a costela, primeiro nós precisamos calcular a máxima transferência de calor possível com a seguinte equação:

Q m á x = m c p T ∞ - T i

Aqui  Q m á x é a máxima transferência de calor possível e  c p é o calor específico da pressão constante. Substituindo pelos dados conhecidos, temos:

Q m á x = 3,2   k g × 4,1   k J / k g ⋅ K × 163 ℃ - 4,5 ℃

Q m á x = 2079,52   k J  

Agora, calculamos a quantidade de calor transferido para a costela com a seguinte expressão:

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 θ o , e s f e r a sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Q Q m á x e s f e r a = 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Aqui,  Q  é a quantidade real de calor transferido.

Q = Q m á x 1 - 3 T o - T ∞ T i - T ∞ sen ⁡ λ 1 - λ 1 cos ⁡ λ 1 λ 1 3

Substituindo pelos dados conhecido, temos:

Q = 2079,52   k J × 1 - 3 × 60 ℃ - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ × sen ⁡ 3,0372   - 3,0372   cos ⁡ 3,0372   3,0372   3

Q = 2079,52   k J × 1 - 0,2174

Q = 1627,35   k J

Portanto, a quantidade real de transferência de calor é  1627,35   k J .

Passo 9

d) Para estimar o tempo necessário para assar a costela até estar “no ponto”, o que ocorre quando a parte interna da costela atinge a temperatura de 71 ℃ , calculamos primeiro o número de Fourier na temperatura mais interna de 71 ℃ utilizando a seguinte equação:

T o - T ∞ T i - T ∞ = A 1 e - λ 1 2 τ

Substituindo pelos dados conhecidos, temos:

71 ℃ - 163 ℃ 4,5 ℃ - 163 ℃ = 1,9898 e - 3,0372 2 τ

0,5804 = 1,9898 e - 9,2246 τ

0,2917 = e - 9,2246 τ

ln ⁡ 0,2917 = ln ⁡ e - 9,2246 τ

ln ⁡ 0,2917 = - 9,2246 τ

τ = ln ⁡ 0,2917 - 9,2246

τ = 0,1336

Passo 10

Podemos calcular o tempo apara que a costela fique bem passada usando a seguinte formula:

τ = α t r o 2

Isolando t na equação.

t = τ r o 2 α

Substituindo os valores.

t = 0,1336 × 0,086025   m 2 0,91 × 10 - 7   m 2 / s

t = 10861,05   s

t = 181   m i n

t = 3   h o r a s   e   1   m i n u t o  

Portanto, o tempo médio de cozimento para costela é  3   h o r a s   e   1   m i n u t o .

Resposta

a) h = 156,93 W / m 2 ⋅ K

b) T s = 159,48 ℃

c) Q = 1627,35   k J

d) t = 3   h o r a s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma lata de 10 cm de diâmetro interno e 30 cm de altura, cheia de água inicialmente a 25°C é colocada no refrigerador doméstico a 3°C. O coeficiente de transferência de calor na superfície da lata é d
Em um evento de erupção do vulcão, a lava encontrada fluindo no chão tem temperatura de 1200°C. O chão estava inicialmente a 15°C e o fluxo de lava possui um coeficiente de transferência de calor por
Duas hastes metálicas estão sendo aquecidas em um forno com temperatura uniforme de 1000°C e coeficiente de transferência de calor por convecção de 25 W m 2 K . A haste A é feita de alumínio ρ = 2702
Bolas de cobre ρ = 8933 k g m 3 ,k = 401 W m K ,c p = 385 J k g ° C ,α = 1,116 × 10 - 4 m 2 s inicialmente a 180°C são resfriadas no ar a 30 ° C por um período de 2 minutos. Considerando que as bolas
Um processo exotérmico ocorre de modo uniforme ao longo de uma esfera ( k = 300 W m K ,c p = 400 J k g . K ,ρ = 7500k g / m 3 ) de 10 cm de diâmetro, gerando calor a uma taxa constante de 1,2 M W m 3