Enunciado

Repita o Problema 6.81, considerando que o ar se expande de forma tão rápida que a expansão pode ser considerada como adiabática.

Passo 1

Vamos começar o exercício ilustrando o tanque no momento inicial:

E o tanque em um instante de tempo t qualquer:

Vamos agora aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície do líquido e orifício de saida, então, temos:

p 1 ρ + v 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + v 2 2 2 + g z 2

Então, nesse caso, sabemos que p 1 = p , v 1 = 0 ; p 2 = p a t m = 0 pois já iremos encontrar a pressão p na forma manométrica. Temos também que v 2 = v j e podemos desprezar a diferença entre as cotas z 1 e z 2 , então a equação se torna:

p ρ + 0 2 2 = 0 ρ + v j 2 2 → v j = 2 p ρ

E a equação da vazão mássica de água é dada por:

m ˙ = ρ v j A

Substituindo a expressão encontrada para v j , temos:

m ˙ = ρ A 2 p ρ → m ˙ = A 2 p ρ

Passo 2

Agora, nós sabemos que a variação de massa de água no tanque pode ser escrita como:

d m d t = ∂ ∂ t ∫ ρ d V → d m d t = ρ á g u a d ⩝ á g u a d t

No entanto, sabemos que a variação de volume de ar no tanque corresponde a variação de volume de água, só que enquanto um aumenta, o outro diminui, então podemos escrever:

d m d t = ρ á g u a d ⩝ á g u a d t = - ρ á g u a d ⩝ a r d t

Agora, como o enunciado nos disse que a expansão do ar pode ser considerada adiabática, temos da equação de estado:

p ρ k = c o n s t a n t e → p ρ k = p 0 ρ 0 k

E, como sabemos que a densidade pode ser escrita como:

ρ = m a r ⩝ a r

Substituindo isso na relação anterior:

p m a r ⩝ a r k = p 0 m a r 0 ⩝ a r 0 k

Só que a massa de ar no tanque não aumenta, o que varia é só seu volume, então temos:

p ⩝ k = p 0 ⩝ 0 k → p = p 0 ⩝ 0 k ⩝ k

Passo 3

Sabemos que toda a variação de água no tanque sai pelo orifício, então podemos escrever:

m ˙ = ρ á g u a d ⩝ á g u a d t

Mas, como vimos no passo 2, a variação de volume de água é igual a variação de volume do ar, então, reescrevendo a equação anterior e já substituindo a relação encontrada para m ˙ , temos:

A 2 p ρ á g u a = ρ á g u a d ⩝ a r d t → d ⩝ d t = A 2 p ρ á g u a

Agora vamos substituir a relação encontrada para p :

d ⩝ d t = A 2 p 0 ⩝ 0 k ρ á g u a ⩝ k

Agora vamos separar as variáveis:

⩝ k 2 d ⩝ = A 2 p 0 ⩝ 0 k ρ á g u a d t

Agora integrando a equação dos dois lados:

∫ ⩝ 0 ⩝ ⩝ k 2 d ⩝ = ∫ 0 t A 2 p 0 ⩝ 0 k ρ á g u a d t

Resolvendo a integral, temos:

2 k + 2 ⩝ k 2 + 1 ⩝ 0 ⩝ = A 2 p 0 ⩝ 0 k ρ á g u a t → ⩝ k + 2 2 - ⩝ 0 k + 2 2 = k + 2 A 2 2 p 0 ⩝ 0 k ρ á g u a t

⩝ ⩝ 0 k + 2 2 = 1 + k + 2 A 2 1 ⩝ 0 k + 2 2   2 p 0 ⩝ 0 k ρ á g u a t → ⩝ ⩝ 0 k + 2 2 = 1 + ( k + 2 ) A t 2 2 p 0 ρ á g u a ⩝ 0 2

⩝ ⩝ 0 k + 2 2 = 1 + ( k + 2 ) A t 2 ⩝ 0 2 p 0 ρ á g u a

⩝ ⩝ 0 = 1 + k + 2 A t 2 ⩝ 0 2 p 0 ρ á g u a 2 k + 2

No entanto, nós sabemos que a massa de água pode ser escrita como:

m a g u a = ρ á g u a ⩝ t - ⩝ = ρ ⩝ 0 ⩝ t ⩝ 0 - ⩝ ⩝ 0

Então, substituindo a expressão encontrada para ⩝ / ⩝ 0 na equação para a massa de água, temos:

m a g u a = ρ á g u a ⩝ 0 ⩝ t ⩝ 0 - 1 + k + 2 A t 2 ⩝ 0 2 p 0 ρ á g u a 2 k + 2

Como temos que o k do ar vale 1,4, substituindo esse valor, chegamos em:

m a g u a = ρ á g u a ⩝ 0 ⩝ t ⩝ 0 - 1 + 3,4 A t 2 ⩝ 0 2 p 0 ρ á g u a 0,588

Plotando esse gráfico, temos:

Resposta

m ˙ = A 2 p ρ

m a g u a = ρ á g u a ⩝ 0 ⩝ t ⩝ 0 - 1 + 3,4 A t 2 ⩝ 0 2 p 0 ρ á g u a 0,588

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