Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos - Capítulo 7.Problemas - Ex. 10

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Repita o Problema 7.9, usando o perfil polinomial sugerido por K. Pohlhausen em 1921:

u U   ≈ 2 y δ - 2 y 3 δ 3 + y 4 δ 4

Esse perfil satisfaz as condições de contorno para o escoamento laminar sobre placa plana?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nós queremos calcular C f , θ / x , δ * / x e H a partir das relações integrais utilizando o seguinte perfil de velocidades:

u U = 2 y δ - 2 y 3 δ 3 + y 4 δ 4

Em primeiro lugar, devemos calcular θ , a partir da Equação (7.3) dada na página 465:

θ =   ∫ 0 δ u U 1 - u U d y   = 0,117 δ

Depois, devemos calcular δ * a partir da Equação (7.12) dada na página 467:

δ * =   ∫ 0 δ 1 - u U d y   = π - 2 π δ = 0,3 δ

E agora, pra finalizar esse passo, amos calcular o valor de H a partir da equação (7.31), dada na página 473:

H = δ * θ = 0,3 δ   0,117 δ = 2,5 6

Passo 2

Agora, vamos calcular θ / x , δ * / x e C f .

Em primeiro lugar, devemos buscar a Equação (7.5) para a tensão de cisalhamento na parede, que é demonstrada na página 466:

τ p = ρ U 2 d θ d x

Utilizando a relação θ = 0,117 δ que descobrimos no Passo 1, obtemos

τ p = ρ U ² 0,117 d δ d x

Além disso, uma outra forma de expressar a tensão de cisalhamento na parede τ p é dada por:

τ p = μ ∂ u ∂ y y = 0 = μ ∂ ∂ y   U 2 y δ - 2 y 3 δ 3 + y 4 δ 4 y = 0 = μ U 2 δ - 6 y 2 δ 3 + 4 y 3 δ y = 0 = 2 μ U δ

Combinando as duas equações, ficamos com:

ρ U 2 0,117 d δ d x = 2 μ U δ

δ d δ = 17,1 μ ρ U d x

Separando as variáveis e integrando, teremos:

δ 2 = 17,1 μ ρ U x → δ x = 4,13 R e x 1 / 2

Substituindo os resultados que obtivemos no Passo 1 na equação acima, podemos encontrar:

θ / 0 , 117 x = 4 , 13 R e x 1 / 2 → θ x = 0,484 R e x 1 / 2  

δ * / 0,3 x = 4 , 13 R e x 1 / 2 → δ * x = 1,2 4 R e x 1 / 2

E finalizando esse passo, vamos calcular C f a partir da Equação (7.10), fornecida na página 466:

C f = θ x = 0,484 R e x 1 / 2    

Passo 3

Agora, pra finalizar a questão, vamos descobrir se o perfil de velocidades satisfaz as condições de contorno para o escoamento laminar sobre placa plana.

Em primeiro lugar, ela tem que satisfazer y = 0 → u = 0 , que é a condição de não-escorregamento:

u ( 0 ) U = 2 ( 0 ) δ - 2 0 3 δ 3 + 0 4 δ 4 = 0

Além disso, o perfil deve satisfazer y = δ → u = U :

u ( δ ) U = 2 ( δ ) δ - 2 δ 3 δ 3 + δ 4 δ 4 = 2 - 2 + 1

u ( δ ) = U

Logo, o perfil satisfaz sim as condições de contorno para o escoamento laminar sobre placa plana.

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

As estimativas de quantidade de movimento integral para o perfil senoidal são C f = 0,48 4 R e x 1 / 2   , θ x = 0,48 4 R e x 1 / 2 , δ * x = 1,2 4 R e x 1 / 2 e H = 2,5 6

Além disso, o perfil de velocidades satisfaz sim as condições de contorno para o escoamento laminar sobre placa plana.

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