Enunciado

O reservatório de 1 m de diâmetro na figura abaixo está inicialmente cheio de gasolina a 20°C. Existe um orifício de 2 cm de diâmetro no fundo. Se o orifício é aberto repentinamente, calcule o tempo para o nível de fluido h(t) baixar de 2,0 para 1,6 m.

Passo 1

E ai, galera! Tranquilidade? Bora que bora encarar mais um desafio?

Primeiro vamos pegar as propriedades da gasolina a 20°C!!!

ρ = 680   k g / m ³

μ = 2,92   x   10 - 4 k g m . s

Agora bora lá, a gente sabe que esse trem aí tá parecendo que vamos precisar usar aquela equação para orifícios, então um parâmetro muito importante é o β que é a razão entre o diâmetro do orifício e o diâmetro do tubo ou tanque, ou seja lá por onde o fluido esteja escoando. Note que aqui β ≈ 0 , pois o diâmetro do tanque é muitooo maior que o diâmetro do orifício.

Q = C d A t 2 Δ p   ρ 1 - β 4

Passo 2

Precisamos encontrar quem é nosso valor de C d !!! Bem, esse cara a gente pode tomar a partir da equação 6.112 do livro que é:

Podemos considerar que F 1 = F 2 = 0 , pois estamos tomando tomadas em cantos. Mas note que eu precisaria de Reynold né? Então o que a gente faz? Chutamos um valor de C d ≈ 0,6 que é um valor típico para orifícios.

Substituindo então na nossa equação do passo 1 e lembrando que Δ p = ρ g h ( t ) , temos:

Q = 0 , 6 π 4 0,02 2 2 9,81 h = 0,000829 h

Passo 3

Pelo balanço de massa temos ainda que:

Q e - Q s = Q a c u m u l a d o

Q s = - Q a c u m u l a d o = - d d t v t a n q u e = - A t a n q u e d h d t = - π 4 1 2 d h d t

Onde Q s = Q que encontramos no passo anterior, então, vamos seguir!!

0,000829 h 1 2 = - π 4 d h d t

- d h h 1 2 = 0,001056   d t

Vamos precisar integrar na altura e no tempo! Beleza, o tempo é só integrar de 0 até um tf. Mas e a altura? Bem, ela precisará ser integrada de 2 até 1,6m, pois queremos saber o tempo que demorará para fazer essa diminuição de altura!!!

- ∫ 2 1,6 d h h 1 2 = 0,001056 ∫ 0 t f   d t

t f i n a l = 2 2 - 1,6 0,001056 = 283   s

Resposta

t = 283   s

b N ã o   p r e c i s a m o s   d e   c o r r e ç ã o

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