Enunciado

Repita o Problema 9-56 para o caso de uma linha de sumidouros em lugar de uma linha de fontes. Suponha que V ˙ / L seja um valor positivo, mas o escoamento em todos os pontos é na direção oposta.

Passo 1

O problema quer que a gente repita o Problema 9-56 com uma única mudança: o sentido do escoamento em todos pontos está oposto ao sentido de escoamento do Problema 9-56. Esse escoamento, onde todas as partículas d efluído se movimentam em direção a um mesmo ponto, é chamado de sumidouro. Ele está representado pela figura abaixo.

onde - V ˙ / L é a vazão volumétrica total por unidade de largura em direção ao centro do escoamento.

Por essa figura nós vemos que, como o escoamento do fluido é oposto ao escoamento do Problema 9-56, o sinal da vazão volumétrica total por unidade de largura é oposto ao sinal d avazão do Problema 9-56.

Passo 2

O problema quer saber quanto vale a função corrente ψ y + ao longo do eixo y positivo e quanto vale a função corrente ψ x - ao longo do eixo x negativo. Para calcular esses dois valores, temos que nos lembrar da equação 9-25 do livro. Ela diz que a vazão por unidade de largura - V ˙ 12 L que passa entre duas linhas de correntes ψ 1 e ψ 2 , deve ser igual a ψ 2 - ψ 1 .

- V ˙ 12 L = ψ 2 - ψ 1

A figura abaixo mostra as linhas de corrente e a vazão por unidade de largura da nossa questão.

Agora nós temos que aprender a usar essa equação para calcular o que queremos.

Passo 3

Para calcular o valor da função corrente ψ y + ao longo do lado positivo do eixo y , podemos usar a equação para o escoamento entre duas linhas de corrente: a linha de corrente que está sobre o eixo x positivo (que tem o valor de função corrente igual a ψ x + = 0 segundo o enunciado) e a linha de corrente que está sobre o eixo y positivo (que tem o valor de função corrente igual a ψ y + ). Essas duas linhas de corrente estão representadas na figura abaixo.

onde - V ˙ x y / L é a vazão volumétrica por unidade de largura do escoamento entre as linhas de corrente sobre o eixo x positivo e sobre o eixo y positivo.

Substituindo ψ 2 por ψ y + , ψ 1 por ψ x + e - V ˙ x y L por - V ˙ 12 L , achamos:

- V ˙ 12 L = ψ 2 - ψ 1     ⟹   - V ˙ x y L = ψ y + - ψ x +     ⟹   - V ˙ x y L = ψ y + - 0     ⟹     ψ y + = - V ˙ x y L

A equação acima mostra que para achar ψ y + , precisamos encontrar - V ˙ x y L .

Passo 4

V ˙ x y L pode ser calculado usando regra de três e lembrando que - V ˙ L é a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo. Como - V ˙ x y L é a vazão por unidade de largura que passa por 1 / 4 do perímetro do círculo, podemos formular a seguinte pergunta: se a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo vale - V ˙ L , quanto vale a vazão por unidade de largura - V ˙ x y L que atravessa 1 / 4 do perímetro do círculo?

A vazão por unidade de largura - V ˙ x y L de 1 / 4 do perímetro total do círculo vale 1 / 4 da vazão total por unidade de largura - V ˙ L .

- V ˙ x y L = - 1 4 V ˙ L

Substituindo isso na equação de ψ y + , achamamos:

ψ y + = - V ˙ x y L       ⟹       ψ y + = - 1 4 V ˙ L

Passo 5

Podemos repetir o mesmo processo para calcular o valor da função corrente ψ x - da linha de corrente que está sobre o eixo x negativo. Só que agora, vamos usar a equação para o escoamento entre outras duas linhas de corrente: a linha de corrente que está sobre o eixo x positivo (que tem o valor de função corrente igual a ψ x + = 0 segundo o enunciado) e a linha de corrente que está sobre o eixo x negativo (que tem o valor de função corrente igual a ψ x - ). Essas duas linhas de corrente estão representadas na figura abaixo.

onde - V ˙ x / L é a vazão volumétrica por unidade de largura do escoamento entre as linhas de corrente sobre o eixo x positivo e sobre o eixo x negativo.

Substituindo ψ 2 por ψ x - , ψ 1 por ψ x + e - V ˙ x L por - V ˙ 12 L , achamos:

- V ˙ 12 L = ψ 2 - ψ 1     ⟹   - V ˙ x L = ψ x - - ψ x +     ⟹   - V ˙ x L = ψ x - - 0     ⟹     ψ x - = - V ˙ x L

A equação acima mostra que para achar ψ x - , precisamos encontrar - V ˙ x L .

Passo 6

- V ˙ x L também pode ser calculado usando regra de três e lembrando que - V ˙ L é a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo. Como - V ˙ x L é a vazão por unidade de largura que passa por 1 / 2 do perímetro do círculo, podemos formular a seguinte pergunta: se a vazão por unidade de largura que atravessa todo o perímetro do círculo vale - V ˙ L , quanto vale a vazão por unidade de largura - V ˙ x L que atravessa 1 / 2 do perímetro do círculo?

A vazão por unidade de largura - V ˙ x L de 1 / 2 do perímetro total do círculo vale 1 / 2 da vazão total por unidade de largura - V ˙ L .

- V ˙ x y L = - 1 2 V ˙ L

Substituindo isso na equação de ψ x - , achamamos:

ψ x - = - V ˙ x L       ⟹       ψ x - = - 1 2 V ˙ L

Resposta

a   ψ y + = - 1 4 V ˙ L

b   ψ x - = - 1 2 V ˙ L

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