Enunciado

Uma represa deve ser construída usando a seção transversal mostrada. Suponha que a largura da represa seja w = 50 m. Para uma altura de água H = 2,5 m calcule o módulo e a linha de ação da força vertical da água sobre a face da represa. É possível que a força da água derrube essa represa? Sob quais circunstâncias?

Passo 1

Nessa questão temos uma barragem com seção transversal. Vamos encontrar magnitude e linha de ação do componente de força vertical na barragem e se é possível a água derrubar a barragem.

Para resolução, aplicaremos as equações hidrostáticas a seguir:

d p d h = ρ g , pressão hidrostática

∑ M = 0 , equilíbrio de rotação

F v = ∫ p d A y , força hidrostática vertical

x ' F v = ∫ x d F v , momento de força vertical

y ' F H = ∫ y d F H , momento de força horizontal

Como todo problema da MecFlu, fazemos as seguintes considerações: fluido estático e incompressível; pressão atmosférica atua na superfície livre da água e fora da barragem.

Passo 2

Começamos integrando a equação da pressão hidrostática na fórmula da força vertical:

F v = ∫ p d A y = ∫ x A x B ρ g h b d x = ρ g b ∫ x A x B ( H - y ) d x

A partir da definição do contorno da barragem:

x y - A y = B

Então:

y = B x - A

E,

x A = 3 2,5 + 0,4 = 1,6

Na equação da força:

F v = ρ g b ∫ x A x B ( H - B x - A ) d x = ρ g b H x B - x A - B ln ⁡ x B - A x A - A

Substituindo valores:

F v = 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × 50   m 2,5 × 2,2 - 1,6 - 0,9 × ln ⁡ 2,2 - 0,4 1,6 - 0,4

F v = 490009,5 1,5 - 0,365 = 556   k N

Passo 3

Para encontramos a linha de força, temos:

x ' F v = ∫ x d F v

Onde d F v = ρ g b H - B x - A , então:

x ' = x ' F v F v = 1 F v ∫ x A x B x ρ g b ( H - B x - A ) d x

= 1 H x B - x A - B ln ⁡ x B - A x A - A ∫ x A x B ( H x - B x x - A ) d x

Resolvendo a integral:

x ' = H 2 x B 2 - x A 2 - B x B - x A - B A ln ⁡ x B - A x A - A H x B - x A - B ln ⁡ x B - A x A - A

x ' = 2,5 2 2,2 2 - 1,6 2 - 0,9 2,2 - 1,6 - 0,9 × 0,4 ln ⁡ 2,2 - 0,4 1,6 - 0,4 2,5 2,2 - 1,6 - 0,9 ln ⁡ 2,2 - 0,4 1,6 - 0,4

x ' = 1,714   m

Para determinar se a água pode ou não derrubar a barragem, precisamos da força horizontal e de sua linha de ação:

F H = p c A = ρ g H 2 H b = ρ g H 2 b 2

Substituindo valores:

= 999 k g m 3 × 9,81 m s 2 × 2,5 2 × 50   m 2

F H = 1531   k N

Para a linha de ação,

h ' = h c + I x x h c A  

Onde h c = H 2 , A = H b e I x x = b H 3 12 .

h ' = H 2 + 1 H 2 × H b × b H 3 12 = H 2 + H 6 = 2 3 H

h ' = 2 3 × 50 = 33,3   m  

Calculando o momento:

M = F H H - h ' - F v x '

M = 1531 × 10 3 2,5 - 33,3 - 556 × 10 3 × 1,714

M = - 48107784   N × m

O sinal negativo indica que o momento se dá no sentido horário. Como o peso da barragem também contribui para a direita do momento em relação a origem, esses dois momentos não devem fazer com que a barragem tombe para a esquerda. Portanto, a água não derruba a barragem.

Resposta

F v = 556   k N

x ' = 1,714   m

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