Enunciado

46 – A resistência de um aquecedor de 2   k W é um fio cuja condutividade térmica é k = 18 W m ⋅ K , raio r 0 = 0,15   c m e comprimento L = 40   c m . Considerando que a condutividade térmica é constante e a transferência de calor é unidimensional, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor durante operação permanente. Não resolva o problema.

Passo 1

Dados:

A capacidade do aquecedor de resistência elétrica é  Q ˙ s = 2   k W = 2000   W

Condutividade térmica do fio  k = 10,4 B t u h ⋅ f t ⋅ R

Raio exterior do fio  r 0 = 0,06   i n

Comprimento do fio  L = 15   i n

Passo 2

O fluxo de calor na superfície do fio é

q ˙ s = Q ˙ s A s

= Q ˙ 2 π r 0 L

= 2000 2 π ( 0,06 ) ( 15 )

q ˙ s = 3 53,677   W i n 2

Assumindo condutividade térmica constante e transferência de calor unidimensional, a equação diferencial deste fio do aquecedor de resistência pode ser expressa como

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k = 0

Esta é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem; sua solução geral consiste em duas constantes arbitrárias. A determinação dessas constantes requer duas condições de contorno.

A primeira condição de contorno é a condição de simetria na linha central e afirma que a temperatura máxima no fio ocorre na linha central e, portanto, a inclinação da temperatura em  r = 0 deve ser zero.

d T 0 d r = 0

E a segunda condição de contorno na superfície externa do fio em  r = r 0   pode ser aproximada como sendo o fluxo de calor especificado

- k d T r 0 d r = q ˙ s

Portanto, a formulação matemática é

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k = 0

E as duas condições de contorno são

d T 0 d r = 0

- k d T r 0 d r = q ˙ s

Resposta

Portanto, a formulação matemática é

1 r d d r r d T d r + e ˙ g e r k = 0

E as duas condições de contorno são

d T 0 d r = 0

- k d T r 0 d r = q ˙ s

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