Enunciado

Resolva o Problema 4.141, considerando o bloco/pá deslizando sobre uma película de óleo em vez de estar em contato direto com a superfície. Admita que a resistência ao movimento seja proporcional à velocidade do bloco, F R = k u , com k = 7,5   N s / m .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme.
  5. Força de resistência atuando.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r f x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há forças de campo atuando no sistema e não a resistência, então, F B x = 0 :

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F S x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Como:

F S x = - F R

Temos:

- F R - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Passo 3

- F R - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Para o fluxo de entrada, V   e   A possuem uma inclinação de 180°, então ρ V A = ( - ρ V A ) .

- a x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

u 1 = ( v - u ) ;

u 2 = 0 ;

u 3 = 0 .

Substituindo F R = k u :

- k u - a r x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ ⋅ v - u ⋅ A

a r x = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m

Assim, temos a fórmula da aceleração.

Passo 4

Para a velocidade.

Sendo:

a r x = d u d t

Temos:

d u d t = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m

d u = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m d t

Integrando:

∆ u = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m ⋅ ∆ t

Passo 5

Para o deslocamento.

d x d t = u

Assim:

d x = u   d t

x = u ⋅ ∆ t

Resposta

a r x = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m

∆ u = v - u 2 ⋅ ρ A - k u m ⋅ ∆ t

x = u ⋅ ∆ t

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