Enunciado

Sabe-se que a velocidade do som c em um gás ideal é uma função da razão entre os calores específicos k , da temperatura absoluta T e da constante específica do gás ideal R g á s (Figura P7-54). Mostrando todo o seu trabalho, use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros.

Passo 1

Então a gente tem que achar uma relação entre a velocidade do som c com a razão dos calores específicos ( k ), a temperatura absoluta ( T ) e a costante específica do gás ideal ( R g á s ).

Não tem problema nenhum não lembrar dessa parte da física, eu também não lembro haha!

Aqui vamos usar o método das variáveis repetidas para resolver esse problema!

Então vamos começar com o primeiro passo que é listar os parâmetros relevantes que o enunciado da pra a gente!

c = f ( k ,   T ,   R g á s )

Temos então 4     parâmetros relevantes!!

n = 4

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro!

c = { L 1 t - 1 }

O enunciado diz que k é uma RAZÃO dos calores específicos, então a gente imagina que k é uma divisão entre dois calores específicos diferentes, mas se temos calor específico em cima e calor específico em baixo, as unidades de cancelam, logo k é adimensional.

{ k } = { 1 }

T = { T 1 }

R g á s = { L 2 t - 2 T - 1 }

Passo 3

Como nossos parâmetros são descritos por 3 dimensões básicas ( T ,   L   e   t ) o primeiro chute de j = 3

Substituindo no teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j = 4 - 3 = 1

Devemos esperar um único grupo π !

Passo 4

Já que vamos considerar j = 3 precisamos encontrar nossos três parâmetros repetidos!

Relembrando nossos parâmetros:

c = f ( k ,   T ,   R g á s )

De cara a gente já sabe que c a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente!

Sobra pra a gente k ,   T e R g á s , o problema é que k não tem dimensão então não podemos usar ele.

Passo 5

Vamos reduzir j para j = 2

Dessa forma:

k = n - j = 4 - 2 = 2

Nosso palpite é que agora tem 2 grupos π e as variáveis repetidas serão ,   T e R g á s .

Passo 6

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π . Começando com o π 1 que vai ser o π dependente!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = 1 = { ( c ) × T a × ( R g á s ) b }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = L 0 t 0 T 0 = { ( L 1 t - 1 ) × T 1   a × L 2 t - 2 T - 1 b }

Agora equacionando:

Comprimento:

L 0 = L 1 × L 2 b

0 = 1 + 2 b

b = - 1 2

Tempo:

t 0 = t - 1 × t - 2 b

0 = - 1 - 2 b

b = - 1 2

Temperatura:

T 0 = T a × T - b

a = b

Substituindo a e b temos:

π 1 = { ( c ) × T - 1 / 2 × ( R g á s ) - 1 / 2 }

Organizando:

π 1 = c T R g á s

Agora deveriamos achar π 2 que é uma função das variáveis repetidas com k

π 2 = 1 = { ( k ) × T c × ( R g á s ) d }

Porém, como k é adimensional, então os expoentes c e d deverão ser igual a zero, com isso:

π 2 = k

Passo 7

Escrevendo a relação entre os grupos π :

c T R g á s = f k

Resposta

c T R g á s = f k

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