Enunciado

Combine os resultados dos Problemas 7-58 e 7-59 para gerar uma equação para a velocidade terminal V de um partícula de aerossol que cai no ar (Figura). Certifique-se de que o seu resultado é consistente com a relação funcional obtido no Problema 7-59. Por consistência, use a notação do Problema 7-59. (Sugestão: para uma partícula que cai com velocidade terminal constante, o peso total da partícula deve ser igual ao seu arrasto aerodinâmico. Seu resultado final deve ser uma equação para V que seja válida a menos de um fator constante desconhecido.)

Passo 1

Vamos entender o que o enunciado quer da gente!

Na questão 58   a gente tem uma partícula de aerosol se movimentando através do ar ou da água, na direção do eixo x .

Já na questão 59 temos essa mesma partícula, mas dessa vez ela esta caindo, na direção do eixo y .

A gente tem que juntar essas duas situações e escrever uma nova equação para velocidade!!

Vamos relembrar os nossos parâmetros relevantes:

Da questão 58 :

F d ,   V ,   L ,   μ

Da questão 59 :

V ,   D p , ρ p - ρ , μ ,   g

Na questão 58 L é usado como comprimento da particula, já na questão 59 usamos D p para o mesmo fim, para simplificar as nossas vidas, vamos usar apenas D p , beleza?

Passo 2

A dica do enunciado é que o peso total da particula, W , deve ser igual ao seu arrasto aerodinâmico, primeiro vamos ver como a gente pode escrever W :

W = m a s s a × a c e l e r a ç ã o  

Não temos a variável massa na lista dos nossos parâmetros relevantes, mas temos a densidade relativa, nesse caso poderiamos dizer que:

m a s s a = ρ p - ρ × v o l u m e

Não temos o volume, mas conhecemos o diâmetro da particula, como a gente não conhece o formato da nossa particula, podemos dizer que :

m a s s a = ρ p - ρ × C 1 D p   3  

Onde C 1 é uma constante, por exemplo, se a particula fosse perfeitamente esférica C 1 = 4 3 π , mas como não sabemos o formato da nossa particula vamos usar apenas C 1 .

A aceleração a gente conhece, é g então vamos substituir:

W = C 1 × ρ p - ρ D p 3 g

Olhando a resolução da questão 58 achamos uma relação com a força de arrasto F d que é:

F d = C 2 × μ V D p

Igualando W com F d :

C 1 × ρ p - ρ D p 3 g = C 2 × μ V D p

Isolando V :

V = C 1   C 2 ρ p - ρ D p 3 g μ V D p

Agora vamos chamar C 1   C 2 de C :

V = C × ρ p - ρ D p 2 g μ

Passo 3

O enunciado pede para a gente se certificar de que o nosos resultado é consistente com a relação funcional obtido no Problema 7-59, vamos ver o resultado da questão anterior:

V D p g = f ρ p - ρ D p D p   g μ

Se a gente passar D p g multiplicando para o lado direito a gente chega em uma expressão bem semelhante a que chegamos agora pouco, logo o resultado é consistente!

Resposta

V D p g = f ρ p - ρ D p D p   g μ

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

No Problema P5.61 seria difícil resolver em função de ômega porque ele aparece nos três coeficientes adimensionais da bomba. Considere que, no Problema 5.61, omega seja desconhecido mas D = 12 cm e Q
Modifique o Problema P5.61 da seguinte forma: seja omega = 32 r/s e Q = 24 m3/h para uma bomba geometricamente semelhante. Qual é o diâmetro máximo se a potência não deve ultrapassar 300 W? Resolva es
Sabendo que Dp é proporcional a L, reformate os dados do Exemplo 5.10 para fazer o gráfico adimensional de Dp em função do diâmetro adimensional. Use esse gráfico para encontrar o diâmetro necessário
A correlação tradicional de Moody para atrito em tubos do Capítulo 6 tem a formaem que D é o diâmetro do tubo, L o comprimento do tubo é a rugosidade da parede. Observe que a velocidade média V no tub
Sabendo que Dp é proporcional a L, reformate os dados do Exemplo 5.10 para fazer o gráfico de Dp adimensional em função da viscosidade adimensional. Use esse gráfico para determinar a viscosidade nece