Enunciado

Repita o Problema 7-54, exceto que a velocidade do som c em um gás ideal é considerada uma função da temperatura absoluta T , da constante universal dos gases ideais R u da massa

molar (peso molecular) M do gás e da razão dos calores específicos k . Mostrando todo o seu trabalho, use a análise dimensional para encontrar a relação funcional entre esses parâmetros.

Passo 1

Vamos começar observando as principais diferenças dessa questão para a questão anterior!

O R g á s que é constante específica do gás ideal é trocado por R u que é a constante dos gases ideais para todos os gases e aparece a massa molar, M .

Com isso vão aparecer novas dimensões básicas, portanto dessa vez não vai ser possível aproveitar a maior parte da resolução da questão anterior, como já fizemos em outras questões do tipo, beleza?

Então, vamos começar o nosso passo a passo listando os parâmetros relevantes que a gente tem:

c = f k , T , R u , M                           n = 5

Passo 2

Agora vamos escrever suas dimensões básicas:

{ c } = { L 1   t - 1 } ; { k } = { 1 } ; T = { T 1 } ; R u = { m 1 L 2 t - 2 T - 1 N - 1 } ; M = { m 1 N - 1 }

Aqui aparece uma dimensão que a gente não ta tão acostumado a ver, que é N , ele representa a quantidade de matéria. Em outras palavras, quando tiver a unidade “mol” a gente usa essa dimensão!

Passo 3

Usamos aqui 5 dimensões diferentes para descrever o nosso problema, ( m , T , L   , t   e   N ) , então o primeiro palpite é j = 5 !

Substituindo no teorema de Pi de Buckingham:

k = n - j = 5 - 5 = 0

Opa, tem alguma coisa estranha! Como assim não tem nenhum grupo π ?!

Vamos reduzir j , agora j = 4

k = 5 - 4 = 1

O problema é que para usar esse valor de j precisariamos de 4 variáveis repetentes, e das variáveis repetentes disponíveis só tem 3 que tem dimensão, já que k é adimensional!

Reduzindo j mais uma vez, agora j = 3 :

k = 5 - 3 = 2

Aweee, agora foi! Vamos atrás desses dois grupos π !

Passo 4

Já que vamos considerar j = 3 precisamos encontrar nossos três parâmetros repetidos!

Relembrando nossos parâmetros:

c = f ( k , T , R u , M )

De cara a gente já sabe que c a gente não pode usar, pois ele é um parâmetro dependente! E k é adimensional, então também não da!

Sobra pra a gente   T ,   R u e M !

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π . Começando com o π 1 que vai ser o π dependente!

Organizando os nossos parâmetros a gente fica com:

π 1 = 1 = { ( c ) × T a × R u b × M c   }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = L 0 t 0 T 0 = { ( L 1 t - 1 ) × T 1   a × m 1 L 2 t - 2 T - 1 N - 1 b × m 1 N - 1 c }

m , T , L   , t   e   N

Agora equacionando:

Massa:

m 0 = m b + m c

0 = b + c

b = - c

Temperatura:

T 0 = T a + T - b

0 = a - b

a = b

Comprimento:

L 0 = L 1 + L 2 b

0 = 1 + 2 b

b = - 1 2

Se: b = - c

a = b

c = 1 2

a = - 1 2

Poderiamos continuar e equacionar tempo e quantidade de matéria, mas como já temos os valores de a ,   b   e c vamos parar por aqui!

Substituindo:

π 1 = { ( c ) × T - 1 / 2   × R u - 1 / 2 × M 1 / 2   }

Arrumando:

π 1 = c M R u T

O segundo grupo π tem a variável k , então, quando a gente for equacionar os expoentes eles vão zerar, isso porque eles sozinhos não são capazes de formar um número adimensional, então ficamos com:

π 2 = k

Passo 6

Agora é só escrever a relação entre os grupos π :

c M R u T = f ( k )

Prontinhooo!

Resposta

c M R u T = f ( k )

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