Enunciado

Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento tridimensional incompressível?

a) u = 2 y 2 + 2 x z ; v = - 2 y z + 6 x 2 y z ; w = 3 x 2 z 2 + x 3 y 4

b) u = x y z t ; v = - x y z t 2 ; w = z 2 ( x t 2 - y t )

c) u = x 2 + 2 y + z 2 ; v = x - 2 y + z ; w = - 2 x z + y 2 + 2 z

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento tridimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y + ∂ w ∂ z = 0

Passo 2

Letra a)

Sendo:

u = 2 y 2 + 2 x z ;

v = - 2 y z + 6 x 2 y z ;

w = 3 x 2 z 2 + x 3 y 4 .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x 2 y 2 + 2 x z + ∂ ∂ v - 2 y z + 6 x 2 y z + ∂ ∂ z ( 3 x 2 z 2 + x 3 y 4 ) = 0

2 z + - 2 z + 6 x 2 z + ( 6 x 2 z ) = 0

12 x 2 z ≠ 0

Impossível

Passo 3

Letra b)

Sendo:

u = x y z t ;

v = - x y z t 2 ;

w = z 2 ( x t 2 - y t ) .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x x y z t + ∂ ∂ v - x y z t 2 + ∂ ∂ z ( z 2 x t 2 - z 2 y t ) = 0

y z t + - x z t 2 + ( 2 x z t 2 - 2 y z t ) = 0

x z t 2 - y z t ≠ 0

Impossível

Passo 4

Letra c)

Sendo:

u = x 2 + 2 y + z 2 ;

v = x - 2 y + z ;

w = - 2 x z + y 2 + 2 z .

Aplicando na equação do Passo 1:

∂ ∂ x x 2 + 2 y + z 2 + ∂ ∂ v x - 2 y + z + ∂ ∂ z ( - 2 x z + y 2 + 2 z ) = 0

2 x + - 2 + ( - 2 x + 2 ) = 0

Possível

Resposta

Impossível

Impossível

Possível

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O ar escoa sob condição permanente, aproximadamente unidimensional, por um bocal cônico na Figura P4.21. Se a velocidade do som é aproximadamente 340 m/s, qual é a razão mínima de diâmetros do bocal D
Um campo de escoamento no plano xy é descrito por u = U 0 = c o n s t a n t e ,v = V 0 = c o n s t a n t e . Converta essas velocidades em coordenadas polares planas, v r e v θ .
Um escoamento incompressível em coordenadas polares é dado por v r = K cos ⁡ θ 1 - b r 2 v θ = - K sen ⁡ θ 1 + b r 2 Esse campo satisfaz a continuidade? Para a consistência, quais devem ser as dimensõ
Um tanque com volume γ contém gás nas condições ( ρ 0 ,p 0 ,T 0 ) . No instante t = 0 , é feito nele um pequeno furo de área A. De acordo com a teoria do Capítulo 9, o escoamento em massa para fora po
Reconsidere a Figura P4.17 da seguinte maneira geral: sabe-se que a espessura da camada-limite δ ( x ) cresce monotonicamente e que não há escorregamento na parede ( y = 0 ) . Depois, u ( x , y ) se a