Enunciado

Seja uma camada-limite laminar se desenvolvendo sobre uma placa plana isotérmica. O escoamento é incompressível e a dissipação viscosa é desprezível.

(a) Substitua as Equações 6.31 e 6.33 na Equação 6.39 para determinar as condições de contorno térmicas na forma dimensional associadas ao escoamento sobre uma placa plana com comprimento L e temperatura Ts.

(b) Substitua as Equações 6.31, 6.32 e 6.33, assim como a definição de ReL e Pr, na Equação 6.36, e compare a expressão dimensional resultante com a Equação 6.29.

Passo 1

No item (a), devemos determinar as condições de contorno de forma dimensional associadas à camada limite de um escoamento sobre uma placa plana isotérmica com comprimento L e temperatura de superfície T S .

Primeiro, vamos dar uma olhada nas equações que devemos utilizar:

Primeiramente, temos a Equação 6.31 que explicita uma expressão para as variáveis dependentes adimensionais, nas duas direções do plano:

x * = x L   e   y * = y L

Sendo L o comprimento característico da placa.

A Equação 6.33, por outro lado, é uma expressão para a temperatura adimensional:

T * = T - T S T ∞ - T S

Sendo T ∞   a temperatura do fluido.

A Equação 6.39 apresenta as condições de contorno de temperatura adimensionais de Parede e de Corrente Livre, que são, respectivamente:

T * ( x * , 0 ) = 0

T * ( x * , ∞ ) = 1

Vamos, então, substituir as equações 6.31 e 6.33 nas equações 6.39:

T * x * , 0 = 0 → T x L , 0 - T S T ∞ - T S = 0 → T x L , 0 - T S = 0 → T x L , 0 = T S

T * x * , ∞ = 1 → T x L , ∞ - T S T ∞ - T S = 1 → T x L , ∞ - T S = T ∞ - T S → T x L , ∞ = T ∞

Passo 2

Agora devemos olhar para a Equação 6.41, com a definição do Parâmetro de Similaridade R e L :

R e L = V L ν

Também devemos olhar para a Equação 6.42, com a definição do Parâmetro de Similaridade P r :

P r = ν α

Por fim, devemos observar a Equação 6.32, que é uma expressão para as velocidades adimensionais:

u * = u V   e   v * = v V

Além disso, vamos olhar a Equação 6.36:

u * ∂ T * ∂ x * + v * ∂ T * ∂ y * = 1 R e L P r ∂ ² u * ∂ y * ²

Substituindo as Equações 6.31, 6.32, 6.33, 6.41 e 6.42 na Equação 6.35, obtemos:

u * ∂ T * ∂ x * =   u V ∂ T - T S T ∞ - T S ∂ x L = L V T ∞ - T S u ∂ T ∂ x

v * ∂ T * ∂ y * =   v V ∂ T - T S T ∞ - T S ∂ y L = L V T ∞ - T S v ∂ T ∂ y

1 R e L P r ∂ ² T * ∂ x * ² = ν V L α ν   ∂ ² T - T S T ∞ - T S ∂ x L ² = L V T ∞ - T S α ∂ ² T ∂ x ²

Por fim, se somarmos os três componentes da equação 6.36:

L V T ∞ - T S u ∂ T ∂ x + L V T ∞ - T S v ∂ T ∂ y = L V T ∞ - T S α ∂ ² T ∂ x ²

Agora, se dividirmos os dois lados da equação por L V T ∞ - T S , obtemos:

u ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = α ∂ ² T ∂ x ²

Que é exatamente igual à Equação 6.29.

Resposta

(a) As condições de contorno dimensionais são T x L , 0 = T S e T x L , ∞ = T ∞ .

(b) Como demonstrado no Passo 2, a equação deduzida é igual à Equação 6.29 .

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