Enunciado

Seja a configuração do Exemplo 3.8, na qual o aquecimento volumétrico uniforme em um tubo de aço inoxidável é induzido por uma corrente elétrica e o calor é transferido por convecção para o ar que escoa no seu interior. A parede do tubo possui raios interno e externo de r 1 = 25 mm e r 2 = 35 mm, uma condutividade térmica k = 15 W/(m · K), uma resistividade elétrica ρ e = 0,7.10 - 6   Ω   m , e uma temperatura de operação máxima permissível de 1400 K.

(a) Supondo a superfície externa do tubo perfeitamente isolada e o escoamento do ar caracterizado por uma temperatura e coeficiente convectivo T ∞ , 1 = 400 K e h 1 = 100 W/(m² · K), determine a corrente elétrica máxima permissível I.

(b) Calcule e represente a distribuição de temperaturas radial na parede do tubo para a corrente elétrica da parte (a) e três valores de h 1 (100, 500 e 1000 W/(m² · K)). Para cada valor de h 1 , determine a taxa de transferência de calor para o ar, por unidade de comprimento do tubo.

(c) Na prática, mesmo o melhor dos materiais isolantes seria incapaz de manter condições adiabáticas na superfície externa do tubo. Considere o uso de um material isolante refratário com condutividade térmica k = 1,0 W/(m · K) e despreze a troca radiante na sua superfície externa. Para h 1 = 100 W/(m² · K) e a corrente máxima permissível determinada na parte (a), calcule e represente a distribuição de temperaturas na parede composta para dois valores da espessura da camada de isolante (δ = 25 e 50 mm). A superfície externa do isolante está exposta ao ar ambiente, para o qual T ∞ , 2 = 300 K e h 2 = 25 W/(m² · K). Para cada espessura do isolante, determine as taxas de transferência de calor, por unidade de comprimento do tubo, para a corrente de ar no interior do tubo e para o ambiente.

Passo 1

Beleza! Vamos começar esse exercício aproveitando o desenvolvimento feito no Exemplo 3.8 dessa seção do livro, onde se chegou na seguinte equação para o perfil de temperatura:

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 - q ˙ 2 k r 2 2 ln ⁡ r 2 r

Então, substituindo r = r 1 , para descobrir a temperatura na superfície interna, nessa equação, temos:

T s , 1 = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 - q ˙ 2 k r 2 2 ln ⁡ r 2 r 1

Agora, ainda do Exemplo 3.8, utilizando a equação 10 obtida, temos:

h 1 = q ˙ r 2 2 - r 1 2 2 r 1 T s , 1 - T ∞ → T s , 1 = T ∞ , 1 + q ˙ r 2 2 - r 1 2 2 h 1 r 1

Agora, igualando as duas expressões encontradas para T s , 1 , chegamos em:

T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 1 2 - q ˙ 2 k r 2 2 ln ⁡ r 2 r 1 = T ∞ , 1 + q ˙ r 2 2 - r 1 2 2 h 1 r 1

T s , 2 - T ∞ , 1 = q ˙ 4 k r 1 2 - r 2 2 + q ˙ 2 k r 2 2 ln ⁡ r 2 r 1 + q ˙ r 2 2 - r 1 2 2 h 1 r 1

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

T s , 2 - T ∞ , 1 = q ˙ 4 15 0,025 2 - 0,035 2 + q ˙ 2 15 0,035 2 ln ⁡ 0,035 0,025 + q ˙ 0,035 2 - 0,025 2 2 100 0,025

T s , 2 - T ∞ , 1 = - 1.10 - 5 q ˙ + 1,374.10 - 5 q ˙ + 1,2.10 - 4 q ˙

T s , 2 - T ∞ , 1 = 1,2374.10 - 4 q ˙

Então, como a temperatura de operação máxima permissível é de 1400 K, e essa temperatura ocorrerá em r = r 2 , e nós temos que T ∞ , 1 = 400   K , então, substituindo esses valores na expressão de cima, obtemos um valor para q ˙ :

1400 - 400 = 1,2374.10 - 4 q ˙ → q ˙ = 8,081.10 6   W / m 3

Passo 2

Agora, sabendo que a taxa de geração de calor será dada pela potência pelo volume, temos:

q ˙ = P V

No entanto, a potência pode ser escrita em função da resistência e da corrente da seguinte forma:

P = R I 2

E, por sua vez, escrevendo a resistência em função da resistividade elétricada dada no enunciado, temos:

R = ρ e L A c

Em que L é o comprimento do bastão e A c é a sua seção transversal. Agora, da mesma forma, o volume do bastão pode ser escrito como:

V = L A c

Então, substituindo as expressões para P e V na equação para q ˙ , obtemos:

q ˙ = ρ e L I 2 A c L A c → q ˙ = ρ e I 2 A c 2 = ρ e I 2 π r 2 2 - r 1 2 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

8,081.10 6 = 0,7.10 - 6 I 2 π 0,035 2 - 0,025 2 2 → I = 6404,5   A

Passo 3

Agora, para a letra (b), nós vamos analisar a equação utilizada no passo 1 para o perfil de temperatura:

T r = T s , 2 + q ˙ 4 k r 2 2 - r 2 - q ˙ 2 k r 2 2 ln ⁡ r 2 r

E de T s , 1 temos:

T s , 1 = T ∞ , 1 + q ˙ r 2 2 - r 1 2 2 h 1 r 1

Então, como podemos ver da equação para T ( r ) , a diferença entre as temperaturas nos pontos 1 e 2 não muda com o valor de h 1 , o que muda será a temperatura 1. Então, calculando T s , 1 nos três casos, temos:

h 1 = 100   W / m 2 . K → T s , 1 = 400 + 8,081.10 6 0,035 2 - 0,025 2 2 100 0,025 → T s , 1 = 1369,72   K

h 1 = 500   W / m 2 . K → T s , 1 = 400 + 8,081.10 6 0,035 2 - 0,025 2 2 500 0,025 → T s , 1 = 593,94   K

h 1 = 10 00   W / m 2 . K → T s , 1 = 400 + 8,081.10 6 0,035 2 - 0,025 2 2 1000 0,025 → T s , 1 = 496,97   K

Como a corrente é a mesma utilizada na letra (a), então a geração de calor será a mesma. Dessa forma, a taxa de transferência de calor para o ar, em r = r 1 será:

q ' = - π r 2 2 - r 1 2 q ˙ = - π 0,035 2 - 0,025 2 8,081.10 6

q ' = - 15232,3   W

Resposta

a :   I = 6404,5   A

b :   q ' = - 15232,3   W

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