Enunciado

Para as condições descritas no Problema 1.44, determine a distribuição de temperaturas, T r , no recipiente, expressando o seu resultado em termos de q ˙ e ,   r e ,   T ∞ ,   h e da condutividade térmica k dos rejeitos radioativos.

Passo 1

Beleza! Então, como temos um cilindro e temos geração no problema, vamos utilizar a equação do calor para sistemas radiais com geração, então, temos:

1 r . d d r r . d T d r + q ˙ k = 0

Agora vamos substituir a expressão para q ˙ dada na figura do Problema 1.44, então, a equação do calor se torna:

1 r . d d r r . d T d r + q ˙ 0 k 1 - r r 0 2 = 0 → d d r r . d T d r = - q ˙ 0 r k 1 - r r 0 2

d d r r . d T d r = - q ˙ 0 r k + q ˙ 0 r 3 k r 0 2

Passo 2

Agora, integrando a equação obtida no passo 1 em r , temos:

r . d T d r = - q ˙ 0 r 2 2 k + q ˙ 0 r 4 4 k r 0 2 + C 1 → d T d r = - q ˙ 0 r 2 k + q ˙ 0 r 3 4 k r 0 2 + C 1 r

E, integrando novamente essa expressão, chegamos em:

T = - q ˙ 0 r 2 4 k + q ˙ 0 r 4 16 k r 0 2 + C 1 ln ⁡ r + C 2

Passo 3

Agora, para encontrar as constantes C 1 e C 2 , vamos aplicar as condições de contorno conhecidas, que são a de temperatura constante no centro do cilindro, ou seja:

r = 0 → d T d r = 0

Então, substituindo esses valores na equação obtida no passo 2, temos:

d T d r = - q ˙ 0 r 2 k + q ˙ 0 r 3 4 k r 0 2 + C 1 r → 0 = - q ˙ 0 ( 0 ) 2 k + q ˙ 0 ( 0 ) 3 4 k r 0 2 + C 1 ( 0 )

Então, para que não tenhamos nenhuma indeterminação, devemos ter:

C 1 = 0

Agora, a segunda condição é a de que na superfície, teremos a troca de calor por condução se igualando à por convecção, então, temos:

- k d T d r r = r 0 = h T r 0 - T ∞

Então, substituindo as expressões conhecidas, temos:

- k - q ˙ 0 r 0 2 k + q ˙ 0 r 0 3 4 k r 0 2 = h - q ˙ 0 r 0 2 4 k + q ˙ 0 r 0 4 16 k r 0 2 + C 2 - T ∞

q ˙ 0 r 0 2 - q ˙ 0 r 0 4 = h - q ˙ 0 r 0 2 4 k + q ˙ 0 r 0 2 16 k + C 2 - T ∞ → q ˙ 0 r 0 4 h = - 3 q ˙ 0 r 0 2 16 k + C 2 - T ∞

C 2 = q ˙ 0 r 0 4 h + 3 q ˙ 0 r 0 2 16 k + T ∞

Dessa forma, o perfil de temperatura será:

T = - q ˙ 0 r 2 4 k + q ˙ 0 r 4 16 k r 0 2 + q ˙ 0 r 0 4 h + 3 q ˙ 0 r 0 2 16 k + T ∞

Resposta

T = - q ˙ 0 r 2 4 k + q ˙ 0 r 4 16 k r 0 2 + q ˙ 0 r 0 4 h + 3 q ˙ 0 r 0 2 16 k + T ∞

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