Enunciado

Seja o Problema 14.41.

  1. Quanto tempo as bolhas deveriam ficar na água para atingirem uma concentração de vapor média igual a 95% do valor máximo?
  2. Quanto tempo as bolhas deveriam ficar na água para atingirem uma concentração de vapor média igual a 50% do valor máximo?

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, o problema nos pediu na letra (a) para determinar quanto tempo as bolhas deveriam ficar na água para atingirem uma concentração de vapor média igual a 95% do valor máximo, ok?

Bom, para começar nós vamos puxar da memória uma equação que descreve uma aproximação de tempo para uma esfera infinita:

Q Q 0 = 1 - 3 θ * 0 ξ 1 3 sen ⁡ ξ 1 - ξ 1 . cos ⁡ ξ 1           ∴         θ * 0 = C 1 e - ξ 1 2 . F o

Neste caso, ξ 1 é o coeficiente, Q a transferência de calor, Q 0 a transferência máxima de calor e θ * 0 é a temperatura da linha central adimensional !

Adaptando essa relação para a transferência de massa:

C - A C - A , m a x = 1 - 3 γ * 0 ξ 1 3 sen ⁡ ξ 1 - ξ 1 . cos ⁡ ξ 1           ∴         γ * 0 = C 1 e - ξ 1 2 . F o m

Quando temos o número de Biot tendendo a infinito, B i → ∞ , podemos olhar na Tabela 5.1 e achar que:

C 1 = 2

ξ 1 = 3,1415   r a d × 57,29 ° 1   r a d = 179,98 °

Como o problema nos disse:

C - A C - A , m a x = 0,95

Substituindo:

0,95 = 1 - 3 γ * 0 3,1415 sen ⁡ 180 ° - 3,1415 . cos ⁡ 180 °

γ * 0 = 0,1645

Passo 2

Substituindo o que acabamos de achar na segunda relação que temos:

0,1645 = 2 e - 3,1415 2 . F o m

F o m = 0,2531

Como o número de Fourier da transferência de massa é maior que 0,2, a solução aproximada é válida !!

Sendo assim nós podemos calcular o tempo de acordo com a fórmula:

t = F o m r o 2 D A B

Se:

r o = 0,001   m

E de acordo com a Tabela A – 8 para o vapor de água e ar a 300 K:

D A B = 0,26 × 10 - 4   m 2 s

Substituindo:

t = 0,2531 0,001 2 0,26 × 10 - 4

t = 9,7 × 10 - 3   s

E assim nós chegamos ao fim da letra (a) !!

Passo 3

Bom galerinha, na letra (b) a concentração diminui para 50%, se é assim o número de Fourier vai chegar a valores menores que 0,2, não é?

Se é assim, a aproximação acima não é válida !!

Neste caso nós vamos usar:

Q Q 0 = A ∫ 0 t q " s . d t V ρ c T s - T i = 4 π r o 2 ∫ 0 t q " s . d t 4 3 π r o 3 ρ c T s - T i

Para achar q " s , nós precisamos obter a taxa de calor por condução adimensional, q * F o m , para a esfera na Tabela 5.2 no caso de interiores semi-infinitos:

q * F o m = 1 π F o - 1

Lembrando que:

F o = α t r o 2

Então:

q * = 1 α t π r o 2 - 1

A taxa de transferência de calor q * também pode ser escrita de outra forma:

q * = q " s r o k T s - T i

Colocando na igualdade:

q " s r o k T s - T i = r o t - 1 2 α π - 1

q " s = k T s - T i r o r o t - 1 2 α π - 1

E substituindo:

Q Q 0 = 3 r o ρ c T s - T i ∫ 0 t k T s - T i r o r o t - 1 2 α π - 1 . d t  

Q Q 0 = 3 k ρ c T s - T i r o 2 T s - T i ∫ 0 t r o t - 1 2 α π - 1 . d t

Lembrando que:

k ρ c = α

Então:

Q Q 0 = 3 α r o 2 × 2 r o t 1 2 α π - t

Rearranjando:

Q Q 0 = 3 2 π F 0 - F 0

E aplicando a analogia do Passo 1:

C - A C - A , m a x = 3 2 π F 0 m - F 0 m

E substituindo:

0,5 = 3 2 π F 0 m - F 0 m

F 0 m = 0,0305

E na fórmula do tempo que já vimos:

t = 0,0305 0,001 2 0,26 × 10 - 4

t = 1,17 × 10 - 3   s

E fechamos mais umaa !!

Resposta

  1. t = 9,7 × 10 - 3   s
  2. t = 1,17 × 10 - 3   s
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