Enunciado

As temperaturas (em K), em regime estacionário, de três pontos nodais de uma longa barra retangular são fornecidas na figura. A barra experimenta uma taxa de geração volumétrica de calor uniforme igual a 5   ×   10 7 W m 3 e tem uma condutividade térmica de 20 W m K . Dois de seus lados são mantidos a uma temperatura constante de 300 K, enquanto os demais se encontram isolados.

  1. Determine as temperaturas nos nós 1, 2 e 3.
  2. Calcule a taxa de transferência de calor saindo da barra, por unidade de comprimento W m , utilizando as temperaturas nodais. Compare esse resultado com o da taxa calculada a partir do conhecimento da taxa de geração volumétrica e das dimensões da barra.

Passo 1

Boom galerinha, mesmo esquema das demais certo?

Mas aqui nós vamos dividir a barra de uma forma um pouco diferente do que o problema nos mostrou, com calores sendo perdido para o ambiente em cada quadradinho:

Como todos os nós são interiores nós podemos usar a seguinte equação:

4 T i = ∑ T v i z i n h o s + q ˙ ∆ x ∆ y k

Como ∆ x = ∆ y :

4 T i = ∑ T v i z i n h o s + q ˙ ∆ x 2 k

Substituindo:

4 T i = ∑ T v i z i n h o s + 5   ×   10 7 W m 3 0,005   m 2 20 W m K = ∑ T v i z i n h o s + 62,5

Se olharmos o nó A e lembrando da simetria:

4 T A = 2 T 2 + 2 T B + + 62,5

2 T A - T 2 - T B = 31,25

Substituindo as temperaturas:

2 398   K - T 2 - 374,6   K = 31,25

T 2 = 390,2   K

Passo 2

Se usarmos agora o nó de número 3:

4 T 3 = T 2 + T C + T B + T p a r e d e + 62,5

Substituindo:

4 T 3 = 390,2 + 348,5 + 374,6 + 300 + 62,5

T 3 = 369,0   K

E para o nó 1:

4 T 1 = T 2 + 2 T C + T p a r e d e + 62,5

Substituindo:

4 T 1 = 390,2 + 2 348,5 + 300 + 62,5

T 1 = 362,4   K

E assim nós finalizamos a letra (a) !!

Passo 3

Boom, agora a taxa de calor que entra na barra é calculada pela taxa de calor que volume de controle, nas paredes com temperatura uniforme, mais a energia gerada:

q p o n t o = q p o n t o ,   s a i + E g

Se a energia é dada por:

E g = q ˙ A

Então:

q b a r r a ˙ = q a + q b + q c + q d + q e + q f

Substituindo:

q b a r r a ˙ = k ∆ y 2 T 1 - T e x t ∆ x + q ˙ ∆ y 2 ∆ x 2   + k ∆ y T C - T e x t ∆ x + q ˙ ∆ y ∆ x 2 + q ˙ ∆ y 2 ∆ x 2 + k ∆ x T C - T e x t ∆ y + q ˙ ∆ x ∆ y 2 + k ∆ x T 3 - T e x t ∆ y + q ˙ ∆ x ∆ y 2 + k ∆ x 2 T B - T e x t ∆ y + q ˙ ∆ y 2 ∆ x 2

q b a r r a ˙ = 1 0 W m K 362,4   K - 300   K + 5   ×   10 7 W m 3 2,5 × 10 - 5   m 2 4   + 20 W m K 348,5 K - 300   K + 5   ×   10 7 W m 3 2,5 × 10 - 5   m 2 2 + 5   ×   10 7 W m 3 2,5 × 10 - 5   m 2 4 + 20 W m K 348,5 K - 300   K + 5   ×   10 7 W m 3 2,5 × 10 - 5   m 2 2 + 20 W m K 369 K - 300   K + 5   ×   10 7 W m 3 2,5 × 10 - 5   m 2 2 + 1 0 W m K 374,6   K - 300   K + 5   ×   10 7 W m 3 2,5 × 10 - 5   m 2 4

q b a r r a ˙ = 7502,5 W m

E acabamos mais uma galerinhaa !!

Resposta

  1. T 1 = 362,4   K         T 2 = 390,2   K       T 3 = 369 K ;
  2. q b a r r a ˙ = 7502,5 W m .
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