Enunciado

Um sistema de bóia é utilizado para abrir um reservatório de água quando o nível deste atinge o plano diametral da esfera. Calcular a área do disco de fechamento do reservatório, sabendo que a área da seção transversal da haste é A 0 = 0,02   m 2 e o peso do conjunto (esfera, haste e disco) é 55   N . Dados: h = 3   m ; R = 0,3   m ; γ = 10 4   N / m 3 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A condição de equilíbrio é a de que o empuxo E seja igual a força que a água causa no disco F somada do peso do sistema G .

E = F + G

Sabemos que o empuxo é dado pelo produto do peso específico pelo volume submerso.

E = γ V s u b

Como nos foi dito que a condição limite é quando o nível de liquido atinge o plano diametral, que é aquele que passa pelo diâmetro, temos que o volume submerso será a metade da esfera menos o volume de contato da haste na parte inferior da esfera.

E = γ 4 π 3 R 3 2 - A 0 R

E = γ 4 π 6 R 3 - A 0 R

A força provocada pela água no disco é de:

F = P A

E o peso total do sistema já nos foi dado.

Passo 2

Organizando os dados do passo anterior, temos que:

γ 4 π 6 R 3 - A 0 R = P A + G

Como a pressão P = γ H e a altura total é de H = h + R , temos que:

γ 4 π 6 R 3 - A 0 R = γ h + R A + G

Substituindo os valores conhecidos, temos que:

10 4 4 π 6 0,3 3 - 0,02 ( 0,3 ) = 10 4 3 + 0,3 A + 55

505,5 = 33000 A + 55

A = 136,5   c m 2

Sendo a área A a área do disco menos a área da seção transversal da haste A 0 . Portanto:

A d i s c o = A + A 0

A d i s c o = 336,5   c m 2

Resposta

A d i s c o = 336,5   c m 2

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