Enunciado

Uma superfície quente a 100°C deve ser resfriada pela fixação de 24 aletas cilíndricas de alumínio k = 237 W m   ·   K de 3 cm de comprimento e 0,25 cm de diâmetro, com distância de centro a centro de 0,6 cm. A temperatura do meio circundante é de 30°C e o coeficiente de transferência de calor nas superfícies é de 35 W m 2   ·   K . Determine a taxa de transferência de calor a partir da superfície da placa de 1   m ×   1   m . Também determine a eficácia global das aletas.

Passo 1

Boom galera, antes de qualquer coisa precisamos saber que aqui existem aletas cilíndricas, certo?

Olhando a Tabela 3-3:

Essa tabelinha é bem importante!!

Agora que já sabemos como calcular parâmetros importantes vamos voltar ao que foi pedido pelo problema, determinar a taxa de transferência de calor a partir da superfície da placa de 1   m ×   1   m !

Se queremos a transferência de calor da placa, queremos a transferência que ocorre na parte superfície aletada e na superfície não aletada:

Q T o t a l ˙ = Q   a l e t a ˙ + Q   n ã o   a l e t a d a ˙

Vamos começar pela troca de calor pelas aletas, ok?

Se lembram como calculamos?

Q   a l e t a ˙ = ɳ a l e t a h A a l e t a ( T b - T ∞ )

Temos que:

h = 35 W m 2   ·   K

T b = 1 0 0 ° C

T ∞ = 30 ° C

Ainda não temos a área nem a eficiência, certo?

Mas a tabela diz que:

A a l e t a = π D L c

E:

L c = L + D 4

Então:

A a l e t a = π D L + D 4

Se:

D = 0,25   c m = 0,0025   m

L = 3   c m = 0,03   m

A a l e t a = π 0,0025   m 0,03   m + 0,0025   m 4 = 0,00024   m 2

Mas calmaa!!

Essa é a área para uma aleta, então vamos precisar descobrir quantas aletas existem nessa placa e aí sim descobrir a área aletada, tudo bem?

Para descobrir vamos dividir a área total pela área de “quadrado vago”, ou seja, sem aleta. Como esse “quadrado vago” tem dois lados iguais de 0,6 cm:

n = 1 m × 1 m 0,006 m × 0,006 m = 27777   a l e t a s

Agora a área total aletada será:

A t o t a l   a l e t a d a = 27777   a l e t a s × 0,00024   m 2 = 6,68   m 2

Passo 2

Achamos a área, e agora?

Só falta achar a eficiência, certo?

Então bora lá !!

Olhando a tabela:

ɳ a l e t a = tanh ⁡ ( m L ) m L

E:

m = 4 h k D

Se:

h = 35 W m 2   ·   K

D = 0,0025   m

k = 237 W m   ·   K

L = 0,03   m

Então:

m = 4 35 W m 2   ·   K 237 W m   ·   K 0,0025   m = 15,37   m - 1

E a eficiência:

ɳ a l e t a = tanh ⁡ ( 15,37   m - 1 × 0,03   m ) 15,37   m - 1 × 0,03   m = 0,935

Fechou, galera !

Agora vamos calcular o calor, tudo certo?

Q   a l e t a ˙ = 0,935 × 35 W m 2   ·   K × 6,68   m 2 ( 100 ° C - 30 ° C )

Como a variação em graus Celsius e kelvin é a mesma:

Q   a l e t a ˙ = 15302,21   W

Passo 3

Se já achamos a taxa de transferência de calor para a superfície aletada só nos resta achar a taxa para a superfície não aletada.

Sabemos a fórmula?

Claro que sabemos !!

Q   n ã o   a l e t a d a ˙ = h A b ( T b - T ∞ )

Só nos falta achar aqui a área, certo?

Mas como?

Simples! Basta nós tirarmos a área da seção circular referente às 27777 aletas da área total:

A b = 1 m 2 - 27777   a l e t a s   π D 2 4

Substituindo:

A b = 1 m 2 - 27777   a l e t a s   π 0,0025   m 2 4 = 0,86   m 2

Na fórmula do calor:

Q   n ã o   a l e t a d a ˙ = 35 W m 2   ·   K × 0,86   m 2 ( 100 ° C - 30 ° C )

Q   s e m   a l e t a ˙ = 2107   W

Agora nós temos tudo o que precisamos para achar a troca de calor total:

Q   t o t a l ˙ = 15302,21   W + 2107   W = 17409,21   W

Ou melhor:

Q   t o t a l ˙ = 17,4   k W

Já acabou?

Não, né! Ainda Falta a eficácia!

Passo 4

Para a eficácia nós temos uma fórmula bem simples:

ε a l e t a = Q   c o m   a l e t a ˙ Q   s e m   a l e t a ˙

Já sabemos que:

Q   c o m   a l e t a ˙ = 17409,21   W

Mas e quanto ao calor da superfície sem aletas?

Fácil, faremos o mesmo cálculo que fizemos no Passo 3, mas usando a área total, já que aqui não existiriam as aletas:

Q   s e m   a l e t a ˙ = h A b ( T b - T ∞ )

Substituindo:

Q   s e m   a l e t a ˙ = 35 W m 2   ·   K × 1   m 2 100 ° C - 30 ° C = 2450   W

Agora sim!!!

Vamos calcular a eficácia:

ε a l e t a = 17409,21   W 2450   W = 7,10

Finalizamos mais uma !!

Resposta

Q   t o t a l ˙ = 17,4   k W

ε a l e t a = 7,10

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Como a eficácia global de uma superfície aletada difere da eficácia de uma única aleta?
A (a) eficiência e (b) a eficácia das aletas aumentam ou diminuem se seu comprimento aumentar?
Considere uma aleta retangular muito longa fixada a superfície plana, de tal forma que a temperatura na sua ponta seja essencialmente a mesma do ar circundante, ou seja, 20°C. Sua largura é de 5,0 cm;
Explique como as aletas melhoram a transferência de calor a partir da superfície. Além disso, explique como a adição de aletas pode realmente diminuir a transferência de calor a partir da superfície.
Qual é a diferença entre a eficácia da aleta e a eficiência da aleta?