Enunciado

Suponha que o tubo vertical do Problema 10-97 agora é horizontal. Para obter a mesma vazão de volume do Problema 10-106, precisamos fornecer um gradiente de pressão forçado. Calcule a queda de pressão necessária entre duas posições axiais no tubo que estejam separadas por distancias como z 2 e z 1 da Figura P10-97. Como a pressão modificada P ' muda entre os casos vertical e horizontal?

Passo 1

Antes de resolver o Problema 10-98, é necessário dizer que existe um erro no enunciado. O texto da questão mencionou que a vazão de volume V ˙ do Problema 10-98 tinha que ser igual a vazão de volume do Problema 10-106. O problema mencionado está errado. Devemos substituir Problema 10-106 por Problema 10-97.

A questão quer que a gente calcule a queda de pressão P 2 - P 1 de um caso idêntico ao Problema 10-97. A única diferença entre os dois problemas é que no Problema 10-97 o escoamento é vertical e no Problema 10-98 o escoamento é horizontal. A figura abaixo mostra o que sabemos sobre o problema 10-98.

P 1 é a pressão absoluta nos pontos localizados em z 1 no Problema 10-97, P 2 é a pressão absoluta nos pontos localizados em z 2 no Problema 10-97, P 1 ' é a pressão modificada nos pontos localizados em z 1 no Problema 10-97, P 2 ' é a pressão modificada nos pontos localizados em z 2 no Problema 10-97 e g é a aceleração da gravidade.

Na próxima etapa nós vamos descobrir como usar essas informações para achar P 2 - P 1 .

Passo 2

Para achar a diferença de pressão P 2 - P 1 , temos que achar quanto valem as pressões modificadas P 1 ' e P 2 ' . Além disso, temos que perceber que, quando o exercício diz que a vazão volumétrica V ˙ dos tubos dos Problemas 10-97 e 10-98 são iguais, ele quer dizer que todas as velocidades V → desses dois escoamentos são iguais.

Para achar essas duas pressões modificadas, precisamos resolver a equação abaixo.

ρ ⋅ D V → D t = - ∇ → P ' + μ ⋅ ∇ 2 V →  

onde V → é a velocidade do fluido, μ é a viscosidade do fluido e D V → D t é a derivada material da velocidade.

Mas você acha que nós realmente precisamos resolver a equação dificílima acima para encontrar P 1 ' e P 2 ' ?

A equação nos diz que escoamentos com um mesmo campo de velocidade V → , terão a mesma distribuição de pressão modificada P ' . Isso pode ser deduzido, porque a pressão modificada P ' só depende da varável velocidade na equação!

ρ ⋅ D V → D t = - ∇ → P ' + μ ⋅ ∇ 2 V →       ⟹       ∇ → P ' = μ ⋅ ∇ 2 V → - ρ ⋅ D V → D t

Não importa se se o escoamento é vertical, horizontal, diagonal ou qualquer outra variação! Se dois escoamento têm as mesmas velocidades em todos os pontos, eles têm as mesmas diferenças de pressões modificadas P ' ! Isso quer dizer que a diferença de pressões modificadas P 2 ' - P 1 ' do Problema 10-98 é igual à diferença de pressões modificadas P 2 ' - P 1 ' do Problema 10-97.

P 2 ' - P 1 ' = P a t m + ρ ⋅ g ⋅ z 2 - P a t m - ρ ⋅ g ⋅ z 1       ⟹       P 2 ' - P 1 ' = ρ ⋅ g ⋅ z 2 - z 1

Passo 3

Nós conhecemos a diferença de pressão modificada P 2 ' - P 1 ' , mas como achamos a diferença de pressão absoluta P 2 - P 1 a partir disso?

Achamos essa diferença d epressão, lembrando da definição de pressão absoluta

P 1 ' = P 1 + ρ ⋅ g ⋅ z

P 2 ' = P 2 + ρ ⋅ g ⋅ z

onde z é a coordenada que mede a alitude de um ponto. Todos os pontos do plano verde e do plano vermelho do escoamento têm altitudes z iguais. Logo, substituindo as expressões de P 1 ' e P 2 ' , podemos cortar os termos ρ ⋅ g ⋅ z .

P 2 ' - P 1 ' = ρ ⋅ g ⋅ z 2 - z 1

P 2 + ρ ⋅ g ⋅ z - P 1 + ρ ⋅ g ⋅ z = ρ ⋅ g ⋅ z 2 - z 1

P 2 - P 1 = ρ ⋅ g ⋅ z 2 - z 1

Resposta

P 2 - P 1 = ρ ⋅ g ⋅ z 2 - z 1

P 2 ' - P 1 ' = ρ ⋅ g ⋅ z 2 - z 1

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