Enunciado

A Tabela A.6 lista a massa específica da atmosfera padrão como uma função da altitude. Utilize esses valores para estimar grosseiramente — digamos, dentro de um fator de 2 — o número de moléculas de ar em toda a atmosfera da terra.

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a Tabela A.6 do livro, nela tem os valores de altitude e a massa específica para cada um desses valores, exatamente como uma função.

Como a atmosfera é dividida em camadas (troposfera, mesosfera, etc.), vamos pegar a primeira, que vai de 0 a 20   k m de altitude. Então usamos os pontos da tabela para descrever a função de massa específica, ela se parece com uma exponencial:

ρ ≈ ρ 0 e - a z

Onde a é uma constante de ajuste que tem unidade m - 1 e valor próximo de 0,00011 , e z é a altitude.

Passo 2

Agora fazemos a integral da massa específica desde a superfície da Terra até os 20   k m de altitude, mas para isso precisamos considerar o raio da Terra na equação, que chamaremos de R T :

Assim:

M = ∫ 0 ∞ ρ ( 4 π R T 2 ) d z = ∫ 0 ∞ ( ρ 0 e - a z ) ( 4 π R T 2 ) d z

O 4 π R T 2 representa a área da superfície da Terra, e é o ponto de altitude zero

Integramos de zero a infinito por causa da forma da exponencial que deduzimos anteriormente, como a exponencial é negativa, ela vai a zero no infinito, então a soma sobre todos os z vai dar para a gente a massa total de todas as moléculas de ar que compõem a atmosfera

Se considerarmos que o raio da terra é aproximadamente:

R T ≈ 6377   k m = 6,377 ⋅ 10 6   m

E que ρ 0 é o primeiro valor da tabela, além do a = 0,00011   m - 1 que vem da equação deduzida de ρ , a equação fica:

M = 4 π R T 2 ρ 0 b

M = 4 π 6,377 ⋅ 10 6   m 2 1,2255   k g / m 3 0,00011   m - 1

Que resulta em:

M = 5,7 ⋅ 10 18   k g

Passo 3

Agora precisamos da massa de ar por mol, que é:

M M a r = 28,97   g / m o l

Se dividirmos pelo número de Avogadro, teremos o número total de moléculas para um mol de ar:

m = 28,97   g / m o l 6,023 ⋅ 10 23   m o l é c u l a s / m o l = 4,81 ⋅ 10 - 23 g / m o l é c u l a

Depois só dividir a massa total de ar que calculamos no Passo 2 por esse valor, com isso, teremos o número de moléculas estimado:

N m = M m = 5,7 ⋅ 10 18   k g 4,81 ⋅ 10 - 23 g / m o l é c u l a = 5,7 ⋅ ( 10 1 8 ⋅ 10 3 )   g 4,81 ⋅ 10 - 23 g / m o l é c u l a

N m = 1 , 2 × 10 4 4   m o l é c u l a s

Resposta

N m = 1,2 × 10 44   m o l é c u l a s

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