Enunciado

O tanque de água cilíndrico na Figura P3.159 está sendo abastecido com uma vazão volumétrica Q 1 = 3,79 L m i n , enquanto a água é também drenada por um furo na parte inferior de diâmetro d = 6   m m . No instante t = 0 , h = 0 . Calcule e faça um gráfico da variação h(t) e a eventual profundidade máxima h m á x da água. Admita que seja válida a equação de Bernoulli para o escoamento permanente.

Passo 1

Galera, essa questão é um pouco complicada, mas nada impossível de se fazer. Primeiro precisamos saber que a velocidade de escoamento em um furo ou em um orifício pode ser representado, segundo bernoulli, por:

V = 2 g h

Ou seja, a velocidade 2, que é a velocidade do fluido no furo pelo desenho vai ser:

V 2 = 2 g h

Passo 2

Agora vamos precisar fazer um balanço de massa, ela é meio chatinha mesmo, mas relaxa, vou explicar a ideia para vocês.

Esse vai ser um balanço de massa simples, pois não teremos geração nem consumo de massa, apenas entrada e saída, ou seja, vamos precisar escrever:

A c ú m u l o   d e   m a s s a   d e n t r o   d o   s i s t e m a = E n t r a d a   d e   m a s s a   n o   s i s t e m a - S a í d a   d e   m a s s a   d o   s i s t e m a

Temos que lembrar que um balanço de massa utiliza fluxos, ou seja, vazões mássicas:

d m d t = m E ˙ - m S ˙

Lembrando que m ˙ = ρ Q e m = ρ v :

d ρ v d t = ρ Q E - ρ Q S

Como ρ vai ser constante para o nosso sistema:

ρ d v d t = ρ Q E - ρ Q S

d v d t = Q E - Q S

Considerando nosso tanque como um cilindro, podemos escrever que o volume de fluido é:

v = A * h

Lembrando que a área da base do tanque sempre será constante, o que varia é apenas a altura do líquido dentro do tanque. Ela pode ser calculada utilizando o diâmetro em metros do tanque:

A = π 4 D 2 = 3,14 4 * 20 100 2 = 0,0314   m 2

A vazão volumétrica que entra no sistema é a vazão Q 1 = 3,79 L m i n = 0,004 m 3 m i n que foi dada no problema e a vazão volumétrica que sai é a vazão fluindo pelo furo, ou seja:

Q S = Q 2 = A 2 * V 2

Onde A 2 é a área de seção transversal do furo que possui diâmetro de D 2 = 6   m m = 0,006   m . Calculando A 2 :

A 2 = π R 2 2 = π D 2 2 4 = π 0,006 2 4 = 0,0000283   m 2

Sendo assim:

Q 2 = 0,0000283 * 2 g h

Q 2 = 0,0000283 * 2 * 9,1 * h

Q 2 = 0,000 125 * h  

Substituindo todas essas informações no nosso balanço:

d A h d t = Q 1 - Q 2

0,0314   d h d t = 0,004 - 0,000 125 * h

d h 0,004 - 0,000 125 * h   = d t 0,0314

Integrando os dois lados:

∫ 0 h ( t ) d h 0,004 - 0,000 125 * h   = ∫ 0 t d t 0,0314

512000 ln ⁡ 0,004 0,004 - 0,000 125 h - 16000 h = t 0,0314

Isolando t:

t = 16076,8 ln ⁡ 0,004 0,004 - 0,000 125 h - 502,4 h

Obviamente eu resolvi esta integral com um auxílio de um software.

Passo 3

Utilizando um software novamente, fiz o gráfico desta função:

Como podemos ver, o valor de h fica fixo em algum valor próximo a 0,25 metros quando elevamos o valor de t.

Resposta

h m á x ≈ 0,25

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