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Um tanque contendo 30 m3 de querosene deve ser esvaziado por gravidade usando uma mangueira de drenagem de diâmetro 15 mm, rugosidade 0,2 mm e comprimento 1 m. O topo do tanque está aberto para a atmosfera e a mangueira sai para uma câmara aberta. Se o nível inicial do querosene for 10 m acima da saída de drenagem, estime (supondo escoamento permanente) a taxa de drenagem inicial. Estime a vazão quando o nível de querosene abaixa para 5 m, e depois para 1 m. Com base nestas três estimativas, faça uma estimativa grosseira do tempo que o nível do tanque levou para ser abaixado até 1 m.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos α = 1 ;

V 1 = 0   ( g r a n d e   t a n q u e )

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, a eq perda de carga menor será desconsiderada, então:

h p = f L V ² 2 g D

Passo 2

Do problema, temos:

  D = 15   m m     V o l u m e = 30   m 3 |     ν = 1,8 * 10 - 6 N s m   L = 1   m     r = 3,75 m    

| e = 0,02 m m   |    

Obs: propriedades do querosene à 20 0 C , Tabela A.8 .

Portanto, a equação de energia simplificada se torna:

z 1 - V 2 2 g = f L V ² 2 g D

Isolando a velocidade V:

V = 2 g H f L D + 1       ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = ρ V D μ     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. H = 10m
    1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
    2. f = 0,01

      Então, pela iteração:

      V = 10,85   m / s                       e                       R e = 9,04 * 10 5    

    3. Utilizando o mesmo valor do Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,0427
    4. Repetindo a iteração:

      V = 7,15   m / s                       e                       R e = 5,97 * 10 5    

    5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,0427
    6. Repetindo a iteração:

      V = 7,15   m s                     e                       R e = 5,97 * 10 5    

      Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

      Nesse caso, a vazão pode ser calculada:

      Q = π D 2 V 4 = π * 0,015 2 * 7,15 4                   →                           Q = 1,26 * 10 - 3   m ³ / s                

      Passo 4

    7. H= 5m:
    8. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
    9. f = 0,01

      Então, pela iteração:

      V = 7,67   m / s                       e                       R e = 6,39 * 10 4    

    10. Utilizando o mesmo valor do Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,0426
    11. Repetindo a iteração:

      V = 5,05   m / s                       e                       R e = 4,21 * 10 4    

    12. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,043
    13. Repetindo a iteração:

      V = 5,05   m s                     e                       R e = 4,21 * 10 4    

      Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

      Nesse caso, a vazão pode ser calculada:

      Q = π D 2 V 4 = π * 0,025 2 * 5,05 4                   →                           Q = 8,93 * 10 - 4   m ³ / s                

      Passo 5

    14. H=1 m:

  2. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
  3. f = 0,01

    Então, pela iteração:

    V = 3,43   m / s                       e                       R e = 2,85 * 10 4    

  4. Utilizando o mesmo valor do Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,043
  5. Repetindo a iteração:

    V = 2,24   m / s                       e                       R e = 1,87 * 10 4    

  6. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,043

Repetindo a iteração:

V = 2,24     m s                     e                       R e = 1,87 * 10 4    

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Nesse caso, a vazão pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,025 2 * 2,24 4                   →                           Q = 3,96 * 10 - 4   m ³ / s                

Passo 4

Inicialmente, temos d Q d t   =   - 1,26 L s , depois d Q d t   =   - 0,893 L s , depois d Q d t   =   - 0,393 L s . Estes ocorrem em h = 10 m, 5 me 1 m.

Os correspondente volumes no tanque são então Q = 30.000 L, 15.000 L e 3.000 L.

Usando o Excel, podemos ajustar uma linha de tendência de poder ao d Q d t versus Q

dados para encontrar, aproximadamente:

d Q d t =   - 0,00683 Q 1 2

Resolvendo a iteração com o dQ inicial de -1,26 em t=0, teremos:

t = 293 30 - Q  

Portanto, quando Q = 3000   L   ( h = 1 ) :

t = 293 30000 - 3000     →     t = 9,64 h

Resposta

O nível do tanque, para ser baixado até 1m, levou cerca de 9,64 horas.

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