Enunciado

Os alunos da residência universitária estão colocando uma piscina infantil no segundo andar e pretendem enchê-la com água de uma mangueira de jardim. A piscina tem um diâmetro de 1,5 m e uma profundidade de 0,76 m. O andar está 5,5 m acima da torneira. A mangueira, internamente muito lisa, tem um comprimento de 15 m e o seu diâmetro é de 1,6 cm. Se a pressão da água na torneira é de 414 kpa, quanto tempo levará para ela encher completamente a piscina? Ignore as perdas menores.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos α = 1 ;

V 1 = V 2 ;

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, a eq perda de carga menor será desprezada, como pede o enunciado:

h p = f V ² L 2 g D          

Passo 2

O objetivo é descobrir o tempo para a piscina ser completamente cheia. Portanto, devemos descobrir a velocidade V 1 para posterior vazão Q , e aí descobrir quanto tempo será preciso:

D = 0,016   m   ,   z 1 → n í v e l   0 e P 2 = P a t m     → P 2 = 0 ( m a n o m é t r i c a )

P 1 = 414   k P a     ρ = 999 k g m 3   μ = 1,01 * 10 - 3 N s m   z 2 = 5,5   m   L = 15   m |   e D = 0,05  

Obs: propriedades da água à 20 0 C , Tabela A.7

Assim, a equação da energia, de forma simplificada, fica:

P 1 ρ - g z 2 = f V ² L 2 D

Isolando:

V = 2 D P 1 ρ - g z 2 f L   ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = ρ V D μ     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

Obs2: Assumimos que a nova tubulação possui tubos lisos(enunciado), então a rugosidade e=0, portanto:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ 2,51 R e ∙ f   ( 4 )

Então, as equações 1, 2 e 4 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , que podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
  2. f = 0,015

    Então, pela iteração:

    V = 7   m s         e       R e = 1,1 * 10 5

  3. Utilizando o mesmo valor de Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0177
  4. Repetindo a iteração:

    V = 6,5   m s         e       R e = 1,02 * 10 5

  5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f=0.0177

Repetindo a iteração:

V = 6,4   m s         e       R e = 1,01 * 10 5

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Portanto, a vazão da mangueira pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,016 2 * 6,4 4                   →                           Q = 1,29 * 1 0 - 3   m 3 / s                

O volume da piscina é:

V o l p i s c = 1,5 2 * 0,76 * π 4 = 1,38 m ³

Resposta

Portanto:

T = V o l p i s c Q           →         T = 1069   s e g

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