Enunciado

A taxa de transferência de calor q por unidade de área para um corpo por meio de um fluido em convecção natural ou gravitacional é uma função da diferença de temperatura Δ T , da gravidade g , do comprimento L do corpo e de três propriedades do fluido: viscosidade cinemática ν , condutividade térmica k e coeficiente de expansão térmica β . Reescreva em forma adimensional sabendo que g e β só aparecem como produto g β .

Passo 1

Vamos para mais um desafio da mecânica dos fluidos? Vamos arrasarrrrr!!!!!

Vamos escrever matematicamente como as coisas são função de outras?

q = f ( Δ T ,   g ,   L ,   ν ,   β ,   k )

Quais são as unidades bases desses parâmetros?

q = M T - 3

Δ T = Θ

g = L T - 2

L = { L }

ν = L 2 T - 1

β = Θ - 1

k = { M L Θ - 1 T - 3 }

Como temos 7 variáveis (n), e temos 3 dimensões bases ( M L T Θ ), tem-se que o número de grupos pi iguais a 7 – 4 = 3 grupos!

Passo 2

Bem, podemos escrever de diversas formas as combinações possíveis! Mas observe que um

Π 1 = q a Δ T b g c L d β

Π 2 = q a Δ T b g c L d ν

Π 3 = q a Δ T b g c L d k

Passo 3

Vamos agora fazer as análises dimensionais e assim montar as equações algébricas!!!

Π 1 = q a Δ T b g c L d β = M T - 3 a Θ b L T - 2 c L d { Θ - 1 } = { M 0 L 0 T 0 Θ 0 }

M : a = 0

L : c + d = 0

T : - 3 a - 2 c = 0

Θ : b - 1 = 0 → b = 1

Se a = 0, logo c = d = 0, logo:

Π 1 = β Δ T

Vamos para os próximos grupos!!!!

Grupo 2:

Π 2 = q a Δ T b g c L d ν

Fazendo analogamente ao grupo 1...

Π 2 = g L 3 ν 2

Grupo 3:

Π 3 = q a Δ T b g c L d k - 1

Fazendo de forma análoga ao grupo 1...

Π 3 = q L k Δ T  

Passo 4

Podemos então escrever como sendo:

q L k Δ T = f β Δ T , g L 3 v 2

Rearranjando de tal forma que Δ T   e β aparecem juntos, temos:

q L k Δ T = f β Δ T g L 3 v 2

Resposta

q L k Δ T = f β Δ T g L 3 v 2

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