Enunciado

O telhado de uma casa é feito de laje de concreto de 25 cm de espessura, 8 m de largura e 10 m de comprimento ( k = 1,9   W / m ⋅ ° C ) . A emissividade da superfície externa do telhado é 0,8, e o coeficiente de transferência de calor por convecção nessa superfície é estimado em 18   W / m ⋅ ° C . Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente encontra-se a uma temperatura de 10 °C, enquanto a temperatura do céu noturno para transferência de calor por radiação é 170 K. Considerando que a temperatura da superfície interna do telhado é T 1 = 16   ° C , determine a temperatura da superfície externa do telhado e a taxa de perda de calor através do telhado quando condições de operação permanente são alcançadas.

Passo 1

Vamos lá! Nosso ponto de partida é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!

Temos um problema de calor unidimensional em regime permanente, sem geração de calor, com condutividade térmica constante e com o efeito de radiação. Além disto, estamos trabalhando com um telhado retangular.

Agora, podemos iniciar a questão em si! Queremos determinar a temperatura na superfície externa, isto é, T L . Mas como faremos? Para isto, precisamos escrever as condições de contorno na superfície externa. Desta forma, temos:

- k d T d x x = L = h T L - T ∞ + ϵ σ T L 4 - T c é u 4

Tirando o termo d T / d x , temos todos os dados acima (claro que não temos T L , pois é ele quem queremos determinar). Então, como conseguiremos determinar esta derivada?

Passo 2

É neste ponto que utilizamos as nossas hipóteses. Por causa delas, sabemos que a distribuição de temperatura é linear. Sendo assim, aproximamos a derivada por deltas! Agora, basta resolvermos a nossa equação!

- k Δ T Δ x = h T L - T ∞ + ϵ σ T L 4 - T c é u 4

- k T L - T 0 L - 0 = h T L - T ∞ + ϵ σ T L 4 - T c é u 4

- 1,9 ⋅ T L - 16 0,25 = 18 ⋅ T L - 10 + 0,8 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 T L + 273 4 - 170 4

- 25,6 ⋅ T L = - 301,6 + 4,536 ⋅ 10 - 8 T L + 273 4 - 170 4

Agora, precisamos utilizar um algum método iterativo para resolver a equação acima, pois temos termos elevado a 4! Outro detalhe importante de ser observado é que quando estamos falando sobre radiação, a nossa temperatura tem que estar em Kelvin! Sendo assim, somamos 273 a temperatura em graus Celsius.

Resolvendo a nossa equação, vamos obter que a temperatura na superfície externa é aproximadamente:

T L = 2,98   ° C

E esta é a nossa resposta

Passo 3

Para finalizar, precisamos calcular a taxa de transferência de calor através do telhado. Para isto, basta aplicarmos diretamente na fórmula. Logo,

Q ˙ = - k d T d x = - k Δ T Δ x

Q ˙ = - 1,9 ⋅ 2,98 - 16 0,25 = 98,9   W

Resposta

A temperatura na superfície externa é:

T L = 2,98   ° C

Já a taxa de transferência de calor é:

Q ˙ = 98,9   W

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