Enunciado

O telhado de uma casa tem laje de concreto k = 2 W m K de 22 cm de espessura, 15 m de largura e 20 m de comprimento. A emissividade da superfície externa do telhado é de 0,9 e o coeficiente de transferência de calor por convecção nessa superfície é de 15 W m 2 K . A superfície interna do telhado é mantida a 15°C. Em uma noite clara de inverno, o ar ambiente está a 10°C, enquanto a temperatura do céu noturno para transferência de calor por radiação é de 255 K. Considerando a transferência de calor por radiação e por convecção, determine a temperatura da superfície externa e a taxa de transferência de calor através o telhado.

Se a casa for aquecida por um forno que queima gás natural com eficiência de 85% ao custo unitário do gás natural é de US$ 1,20 / therm ( 1   t h e r m = 105 , 500   k J de conteúdo energético), determine o dinheiro perdido no telhado naquela noite durante um período de 14 horas.

Passo 1

Tranquilo até agora, não?

Então se preparem para mais uma!!

Nós precisamos saber quais energias estão sendo transferidas, certo?

A laje está recebendo energia apenas por convecção e radiação, enquanto transfere esta energia através do concreto, não é?

Sendo assim:

Q c o n d ˙ = Q c o n v ˙ + Q r a d ˙

Vamos começar vendo como calculamos cada uma:

Q c o n d ˙ = k A T i n t - T e x t L

Q c o n v ˙ = h A T e x t - T ∞

Q r a d ˙ = ε σ A T e x t 4 - T v i z 4

Aqui nós estamos chamando T ∞ da temperatura do ar, T e x t a temperatura da superfície externa da laje, T i n t a temperatura da superfície interna da laje e T v i z temperatura do ar.

O que nós sabemos?

T i n t = 15 ° C + 273 = 288   K

T ∞ = 10 ° C + 273 = 283   K

T v i z = 255   K

k = 2 W m K

L = 2 2   c m = 0,2 2   m

h = 15 W m 2 K

ε = 0 , 9

Tabelado nós temos a constante de Boltzmann:

σ = 5,67 × 10 - 8

Olhem só como a equação ficará:

k A T i n t - T e x t L = h A T e x t - T ∞ + ε σ A T e x t 4 - T v i z 4

Como a área é a mesma:

k T i n t - T e x t L = h T e x t - T ∞ + ε σ T e x t 4 - T v i z 4

Então:

2 W m K 288   K - T e x t 0,2 2   m = 15 W m 2 K T e x t - 283   K + 0 , 9 5,67 × 10 - 8 T e x t 4 - 317   K 4

Resolvendo a equação:

T e x t = 280,7   K

Em graus Celsius:

T e x t = 280,7   K - 273 = 7,7 ° C

Portanto, a temperatura externa do telhado deve ser igual a 7,7 ° C !

Passo 2

A próxima pergunta é qual a transferência de calor por meio do telhado, ou seja, quanto calor é transferido por condução.

Já sabemos que:

Q c o n d ˙ = k A T i n t - T e x t L

E nossos dados são:

T i n t = 15 ° C

T e x t = 7,7 ° C

k = 2 W m K

L = 0,22   m

Mas agora nós precisamos da área, que por ser um retângulo:

A = w × l

Como:

w = 15   m

l = 20   m

Então:

A = 15   m × 20   m = 300   m ²

Na fórmula do calor:

Q c o n d ˙ = 2 W m K 300   m ² 15 ° C - 7,7 ° C 0,22   m

Q c o n d ˙ = 19,909   W

Então o calor transfere 19,909   W de calor !

Acabamos?

Que nada!!

Passo 3

Queremos suprir esta energia perdida pelo telhado, não é?

Então o aquecedor deverá fornecer tal quantidade de calor levando em consideração o tempo, de 14 horas, e a eficiência:

R = Q c o n d E f i c i ê n c i a

Sabemos que:

E f i c i ê n c i a = 85 % = 0,85

E que:

Q c o n d = Q c o n d ˙ × ∆ t

Q c o n d = 19,909 J s × 14   h × 3600   s 1 h = 1003413,6   J

Sendo assim, o calor fornecido pelo aquecedor devera ser de:

R = 1003413,6   J 0,85 = 1180486,6   J

Em kJ:

R = 1180 , 5   k J

Para saber quanto em dinheiro isso nos dá basta transformamos kJ em therm:

R = 1180,5   k J × 1   t h e r m 105 , 500   k J = 11,2   t h e r m

Agora sim:

D i n h e i r o   G a s t o = 11,2   t h e r m × U S $   1,20 1   t h e r m = U S $ 13,44

Se for assim nós perderemos pelo telhado U S $ 13,44 .

O que acharam desta ?!

Resposta

T e x t = 7,7 ° C

Q c o n d ˙ = 19,909   W

U S $ 13,44

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